Existence d'entier

$A=3k+i$, avec $i\in \{0,1,2\}$. Alors $E(x_0)=k, x_1=(k+i/3)*k$ ... etc ...
oups ! si $k$ n'est pas multiple de $3$ ?

Par le calcul, on remarque que $\forall A >6$, $x_{n}\in \mathbb{N}$, pour $n\geqslant 5$. 8-), Désolé, ce n'est pas une démonstration.

JRManda, essaie avec $A=364$, puis $A=1093$, puis $A=3280$.
Si tu fais le calcul à la main, il faut une grande feuille... (:P) Le plus petit entier de la suite $(x_n)_n$ pour $A=3280$ comporte $778$ chiffres.

Autant c'est facile avec xo = A/2, autant c'est infaisable avec les autres fractions.....

De toi, mais tu connais la solution ? Ou tu l'as inventé sans même savoir si c'est vrai ou faux ?

Edit : ah, visiblement c'est une conjecture.

Pour moi qui traîne beaucoup sur le sous-forum shtam, cette question me fait beaucoup penser à la conjecture de Syracuse.
Et le fait de voir que cette question n'est pas résolue me conforte dans cette piste.
Et je ne serais pas surpris que solutionner cette question, ce serait un pas décisif dans la solution de la conjecture de Syracuse (et inversement).

@JRManda, tu as testé avec 364, 1093, 3280 ... j'imagine que ce n'est pas par hasard si tu as choisi les nombres qui s'écrivent 111111, 1111111 et 11111111 en base 3 !

@lourran : Si tu avais lu les messages plus haut, tu aurais vu que c'est moi qui ai suggéré ces nombres à JRManda... et en lisant encore plus haut, tu aurais su pourquoi.

@Cidrolin : Ce n'est pas exactement la même suite. Dans OEIS, c'est la "partie plafond" ou "partie entière supérieure" qui est utilisée alors qu'ici c'est la "partie entière (inférieure)" qui est utilisée.

En écrivant en base 3 les antécédents 3-adiques :

....,0 a comme antécédents : ....0,1 et .....0,2.

.....0,1 : .....21,1 et .....22,2
.....0,2 : ....11,2 et.....22,1

....21,1 : .....201,1 et.....112,2
....22,2 : .....021,2 et......012,1
....11,2 : .....201,2 et .....002,1
....22,1 : .....011,1 et......202,2

etc.....

Donc à chaque étape, 2 fois plus d'antécédents nouveaux que l'étape précédente, avec à la clé un chiffre supplémentaire.

Mais y sont-ils tous ?

Salut nodgim,

merci pour ton message.
N'y a-t-il pas une faute de frappe quand tu écris que 112,2 est à la fois antécédent de 21,1 et 11,2?

Bonsoir
Ce qui suit n'aura pour certains qu'un intérêt limité puisque seul le cas "$q=3$ " (que pour ma part je trouve suffisamment compliqué) y est envisagé et le propos se contente d'attester la structure de l'ensemble des entiers $A$ qui initient une suite comportant exactement $n$ éléments non entiers.
Pour éviter les fractions, je considère, pour tout $a\in \N$, la suite $\Big(y_n^{(a)}\Big ) _{n\in \N}$ définie par: $\quad y_0^{(a)} = a, \quad y_{n+1}^{(a)} = y_n^{(a)}\Big \lfloor \dfrac {y_n^{(a)}}3 \Big \rfloor.\qquad (y_n=3x_n)$

$\forall a,n \in \N, \quad d(a) := \inf \Big\{ n \in \N \mid y_n^{(a)} \equiv 0 \mod 3 \Big \}, \quad (d(a) \in \N \cup\{\infty\})\quad$ Alors:
$$\boxed{ \forall n \in \N, \quad \exists A_n\subset [\![0;3^{n+1}-1]\!]\quad\text{ tel que} \quad \#A_n = 2^n \:\:\text{et}\:\: \forall a \in \N, \:\:\: d(a) =n \iff \exists b \in A_n, \:\:a\equiv b \mod 3^{n+1}}$$
On prouve cette affirmation par récurrence sur $n$: pour $n=0$, la vérification est immédiate.
Soient $n>0, \:a\in \N.\qquad d(a) >0 \iff \exists \varepsilon \in \{1,2\}$ tel que $a\equiv \varepsilon \mod 3.$

$ d(a) =n \iff d\left( a\Big\lfloor \dfrac a3 \Big \rfloor \right) = n-1 \overset {\text{Hyp. de rec.}}{ \iff } \exists b \in A_{n-1}, \:\:a\Big\lfloor \dfrac a3 \Big \rfloor \equiv b \mod 3^n .$
$d(a) =n \iff \exists b \in A_{n-1}\:\text{tel que}\: \:a(a-\varepsilon) \equiv 3b \mod 3^{n+1}.\qquad \qquad$ Soit $\rho \in \Big\{1, \dfrac {3^{n+1} +1}2 \Big\}$ tel que $2\rho = \varepsilon \mod 3 ^{n+1}.$
$d(a) =n \iff \exists b \in A_{n-1}\:\text{tel que}\: (a-\rho)^2 \equiv 3b +\rho ^2 \mod 3^{n+1}.\qquad $$\varepsilon +\rho \equiv 0, \:\:\: a - \rho\equiv 2 \varepsilon, \:\:\: 3b+\rho ^2 \equiv 1 \mod 3.$

$\forall B \in \N $ tel que $B\equiv 1 \mod 3$, l'équation $X^2\equiv B$ possède exactement $2$ solutions dans $\Z/3^{n+1}\Z,\:$ opposées.
Une et une seule d'entre elles est congrue à $2 \varepsilon \mod3$ . Notons $\varphi_n(B)$ son représentant dans $[\![0;3^{n+1}-1]\!].$

$d(a) =n \iff \exists b \in A_{n-1}, \:\exists\rho \in \Big\{1, \dfrac {3^{n+1} +1}2 \Big\} \:\text{tels que}\: a-\rho \equiv \varphi _n(3b + \rho^2) \mod 3 ^{n+1}\iff a \equiv \rho+\varphi_n (3b + \rho^2) \mod 3^{n+1}.$
$ A_n :=\left\{x\in [\![0;3^{n+1}-1]\!]\:\: \mid\:\:\exists b \in A_{n-1}, \exists\rho \in \Big\{1, \dfrac {3^{n+1}+1}2\Big\},\: x\equiv \rho+\varphi_n (3b + \rho^2) \mod 3^{n+1}\right\}.\:\:\:\:$ Avec $\:\#A_{n-1} = 2 ^{n-1},$ il vient :
$$
\#A_n = 2^n, \quad \forall a \in \N, \quad d(a) =n \iff \exists c \in A_n, \:\:a\equiv c \mod 3^{n+1}\:\square$$
$A_0=\{0\},\quad A_1=\{ 1,2\}, \quad A_2=\{14,22,25,26\},\quad A_3=\{7,13,16,23,44,58,59,62 \},$
$A_4=\{8,67,71,77,86,98, 112,124,131,166,194,196,197,202,223,232 \}.$
$$\xymatrix { \mod 3^1 &&&&&&&&&&&&&&&&0\ar[lllllllld] \ar[rrrrrrrrd] \\ \mod 3^2 &&&&&&&& 1\ar[lllld]\ar[rrrrd]&&&&&&&& &&&&&&&&2\ar[lllld]\ar [rrrrd]\\\mod 3^3 &&&&22\ar[rrd]\ar[lld]&&&&&&&&26 \ar[rrd]\ar[lld]&&&&&&&&25\ar[rrd]\ar[lld]&&&&&&&&14 \ar[rrd]\ar[lld] \\\mod 3^4& &58\ar[rd]\ar[ld]&&&& 44 \ar[rd]\ar[ld]&&&& 16\ar[rd]\ar[ld]&&&& 23\ar[rd]\ar[ld]&&&& 13\ar[rd]\ar[ld]&&&& 62\ar[rd]\ar[ld]&&&& 7\ar[rd]\ar[ld]&&&& 59\ar[rd]\ar[ld] \\ \mod3^5&166&&98&&232&&131&&67&&8&&196&&194&&112&&71&&124&&77&&202&&197&&223&&86}$$

Bonjour,

A mon avis, je pense que la suite de départ $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ postée par @MMU et celle proposée par @LOU16, à savoir $(y_{n}^{(a)})_{n\in \mathbb{N}}$ ne sont pas pareilles. Elles n’ont pas la même logique et donc les résultats de l’étude de l’une ne sont pas transposables en l’état sur l’autre. A condition de mettre en évidence l’équivalence formelle et sans équivoque entre les deux suites.

En effet pour la suite originale, c’est le premier terme $x_{0}=\frac{A}{3}$ qui peut être non entier. Ensuite, c’est le processus qui doit éliminer au fil du temps la fraction laissant ainsi le reste du processus se dérouler dans $\mathbb{N}$ à partir d'un certain rang $n$. Pour la suite $(y_{n}^{(a)})_{n\in \mathbb{N}}$, on part "obligatoirement" d’un premier terme entier naturel $y_{0}^{(a)}=a$. Par conséquent, comme $y_{n+1}^{(a)}= y_{n}^{(a)}\cdot \left \lfloor \frac{y_{n}^{(a)}}{3} \right \rfloor$, $\forall n\in \mathbb{N}$, alors tous les termes de la suite seront des entiers naturels puisque $y_{n}^{(a)}\in \mathbb{N}$, $\left \lfloor \frac{y_{n}^{(a)}}{3} \right \rfloor \in \mathbb{N}$ et donc $y_{n+1}^{(a)}= y_{n}^{(a)}\cdot \left \lfloor \frac{y_{n}^{(a)}}{3} \right \rfloor \in \mathbb{N}$.

Ensuite, si j’ai bien lu, conclure en disant que :
La proportion des entiers $A$ de départ pour lesquels il existe un rang $n$ tel que $x_{n}\in \mathbb{N}$ tend vers $1$ ;
ce n’est pas du tout équivalent à dire que :
Pour tout entier $A$ de départ, il existe un rang $n$ tel que $x_{n}\in \mathbb{N}$.

Je pense que @depasse a souligné ci-dessus cet aspect de la chose qui empêche justement à conclure que la conjecture est démontrée.

Cordialement.

Plus facile

Soit un entier $A>4$. On définit la suite
$x_0=\frac A2,\ x_{n+1}=x_n.E(x_n)$ , où
$E(\cdot)=$ partie entière.
Existe-t-il toujours un $x_n$ entier ? B-)

Tel était le problème posé par MMu et j'aimerais bien qu'il m'explique pourquoi il l'a supprimé :-X

MMu
L'auteur écrit dans un forum qui a des règles http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,346997 4.8
Les modérateurs appliquent ces règles.
AD.

Bingo !

@i.Zitoussi a tout dit à propos de ce sujet. Ce n'est pas parce que la proportion des entiers $A$ de départ pour lesquels il existe un rang $n$ tel que $x_{n}$ est un entier naturel tend vers $1$ qu'on pourra déduire que cela marche pour quel que soit $A$. D'ailleurs, c'est - entre autres - ce même genre de raisonnement qui empêche aujourd'hui de conclure que la suite de Syracuse est "convergente".

Cordialement.

bonsoir,

le plan de ma preuve dans le cas facile ($q=2$):

Définition : Pour tout $a \in \mathbb N_{>3}$ et tout $n \in \mathbb N$, $x_0(a):= \frac a2$, $x_{n+1}(a):=x_n(a) \lfloor x_n(a)\rfloor$.

Définition: Pour tout $a \in \mathbb N_{>3}$, $a: \equiv3+2^{n_a}$ mod $2^{n_a+1}$

Proposition: Pour tout $a \in \mathbb N_{>3}$, $x_{n_a} (a) \in \mathbb N$.

Dodo

Cordialement
Paul