HR et Goldbach
dans Arithmétique
Salut
Goldbach HR sont-elles èquivalentes ?
Goldbach HR sont-elles èquivalentes ?
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Réponses
Il me semble que l'un implique l'autre. En fait on a au moins ceci.
(i) Hardy et Littlewood ont, au début du 20ème siècle, utilisé GRH, c'est-à-dire RH pour les fonctions $L$ de Dirichlet, pour montrer la conjecture de Goldbach faible. Ce travail a été étendu et complété dans cet article.
(ii) En termes d'équivalence, Granville a montré que HR est équivalent à une forme moyenne de Goldbach. Plus précisément, si l'on note $\displaystyle G(2N) := \sum_{p+q=2N} \log p \log q$ et $\displaystyle J(2N) := \left( C_2 \prod_{\substack{p \mid N \\ p>2}} \frac{p-1}{p-2} \right) 2N$, où $C_2 \approx 1,320323\dotsc$ est la constante des nombres premiers jumeaux, alors l'Hypothèse de Riemann est équivalente à l'estimation
$$\left| \sum_{2N \leqslant x} \left( G(2N) - J(2N) \right) \right| = O \left( x^{3/2+o(1)} \right).$$
Merci AitJoseph de m'avoir obligée à chercher plus précisément : la constante prête à confusion, je m'en suis référée à l'article original d'Hardy et Littlewood qui fournit le moyen de la calculer : elle vaut 0.500104, je pense, vous pouvez trouver les détails dans l'article joint.
Je vais le transcrire en Latex et le traduire pour essayer de le comprendre ; l'article date de 1922, il tombe dans le domaine public dans moins de 2 ans, à moins que ça ne soit 70 ans pour les textes scientifiques.
Cordialement,
Denise Chemla
https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887559 ?
Il semble librement téléchargeable et je pense que personne ne t'en voudra si tu le traduis (le site du projet Euclid ne doit pas être confondu avec un autre site B-)- )
Cordialement,
Denise Chemla
En prenant l'estimation du nombre de nombre premiers appartenant à [n ; 2n] on a aussi une bonne estimation de $G(2n)$
Par exemple pour $2n = 998$ on a $G(2n) = 17$
$\frac{499}{Ln\:998} = 72$ nombres premiers environ de n à 2n.
Puis; $G(2n)$ vaut environ $\frac{72}{Ln\:72} = 16$ couples de premiers qui décomposent 998.
C'est à dire que l'on se sert du nombres d'entiers naturels $A < n$, non congrus à 2n modulo P, avec $P\leqslant\sqrt{2n}$ et $A$ non multiple de 2,3 et 5 .
(Cette fonction est une conséquence de l'algorithme de Goldbach, qui crible les nombres premiers de 1 à n, qui sont non congrus modulo P)
J'ai écrit un programme pour tes calculs LEG.
Il vaut mieux tenir compte des diviseurs, regarde les tableaux.
Cordialement,
Denise Chemla
@Denise C , merci pour les tableaux , mais effectivement la formule avec la racine du logarithme de n , est plus proche du nombre de décompositions de Goldbach aux alentours de $10^9$; est ce que tu as trouvé le moyen de corriger l'erreur ?
Comme par exemple dans la fonction Li(n) qui donne une approximation du nombre de premiers < n , meilleur que $\frac{n}{Ln \:n}$
Ceci dit, je pense malgré tout, que l'écart va grandir lorsque $n$ tend vers l'infini.
Deux question : que veulent dire les X dans la cinquième colonne P ?
Et lorsque tu dits: il vaut mieux utiliser les diviseurs...? je n'ai pas compris le sens de cette phrase...
Moi j'utilise les programmes par famille de nombres premiers, cela évite les différences du nombre de décompositions de Goldbach par rapport à l'ensemble des entiers naturels.
Je vais regarder avec ta formule D(n) par famille , en utilisant (n /3,75) / 8. qui correspond au nombre d'entiers dans une famille
$30k + i$ avec $i\in{(1,7,11,13,17,19,23,29)}$
La croix dans la cinquième colonne signifie est un double de nombre premier (2p). Pour ce qui est de la démonstration du fait de ne devoir retirer qu'une classe de congruence au lieu de 2 dans le cas des diviseurs de n, elle se trouve dans la page qui est le troisième élément de la bibliographie de la note que j'ai postée quant à moi, troisième élément qui est numéroté 2 (hum !).
J'arrête ici pour ces calculs.
Cordialement et bonne continuation.
Denise Chemla
je me permet de rebondir sur $\pi(n)=n/ln(n)$,il y a peut-être un moyen de s'affranchir de l’approximation
pour cela je propose de calculer
$(2-1)\cdot(3-1)\cdot(5-1)\cdot(7-1) $ qui correspond a la quantité d'ensemble différents de 4 éléments
ou chaque valeure $\ne 0$ sauf erreur de ma part
$1,1,1,1$
$1,2,1,1$
$1,1,2,1$
$1,2,2,1$
...
$1,1,4,1$
...
$1,2,4,6$
Normalement ,sauf erreur cette quantité doit correspond exactement à la quantité de nombre premier inférieure a une valeur de n que j'arrive difficilement a évaluer, bon bref
C'est une conséquence directe du test de primalité que j'utilise dans ma proposition de démonstration
voir http://remyaumeunier.chez-alice.fr/pdf/conjecture de Goldbach_fr.pdf
une objection ?Merci pour tout retour mème partiel
Cordialement remy
Dans la pièce jointe, il y a la liste de tous les nombres premiers tels que $11<\sqrt(p)$, pour info les trous correspondent bien à des nombres premiers mais ils sont plus grands que $11^2$
merci pour tous retour mème partiel
Cordialement remy
J'ai posté la transcription de l'extrait de l'article de Hardy-Littlewood à cette adresse :
http://denisevellachemla.eu/transc-Hardy-Littlewood.pdf.
Cordialement,
Denise Vella-Chemla
ok https://mathoverflow.net/search?q=About+Goldbach's+conjecture mais je vais ouvrir une discutions sur $\pi(n)$
il est vrai que je suis limite hors sujet
Cordialement Remy
Lorsque 2n tend vers l'infini l'estimation de G(2n), nombre de couples qui décomposent 2n , vaut environ :
$\frac{\pi(2n)}{Ln\:(\pi(2n)}*C_2 *coef$
Avec $C_2$ la constante des premiers jumeaux et où le coefficient est fonction de la forme de 2n, il y en a trois : 0,375 ; 0,5 et 0,75 et aucun si 2n est de la forme de 30k.
Par exemple pour $2n = 1 000 000 010$ le coef = 0,5 car il n'y a que 4 familles : $1, 7, 13, 19 $ qui criblent ; $C_2 = 1,320323...$
$\pi(2n) = 50 847 536$ ; on a comme résultat : 1 891 734 couples (p+q) qui décomposent 2n.
pour 2n = 3 000 000 000 ;résultat : $\frac{\pi(2n)}{Ln\:(\pi(2n)}*C_2 = 10 150 924$ couples pour 12 224 533 réels
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 29,couple p+q=2n: 1529094
15.85
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 23,couple p+q=2n: 1527186
15.24
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 19,couple p+q=2n: 1527159
15.09
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 17,couple p+q=2n: 1527668
15.15
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 13,couple p+q=2n: 1528457
15.26
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 11,couple p+q=2n: 1528814
15.13
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 1,couple p+q=2n: 1527509
15.11
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 1500000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 1500000000 famille 7,couple p+q=2n: 1528646
15.22
pour 2n = 6 000 000 000 ; résultat : $\frac{\pi(2n)}{Ln\:(\pi(2n)}*C_2 = 18 977 651$ couples, pour 22 899 781 réels
Ceci dit, ça ne reste que des estimations.
Crible de Goldbach:
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 1,couple p+q=2n: 2862328
31.23
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 7,couple p+q=2n: 2860259
31.29
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 11,couple p+q=2n: 2863528
30.72
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 13,couple p+q=2n: 2863638
30.88
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 17,couple p+q=2n: 2861931
30.73
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 19,couple p+q=2n: 2864259
30.76
>>>
======= RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py =======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 23,couple p+q=2n: 2861586
31.06
>>>
=======RESTART: E:\Documents\Conjecture de Goldbach\Crible_EG2_mod30.py ======
Donnez n: 3000000000
Nombres P' non congruent à [pi] de 1 à 3000000000 famille 29,couple p+q=2n: 2862252
31.1
>>>