Ramanujan 1917

Sheshe123 · September 2020

Bonjour à tous, Ramanujan a démontré en 1917 un beau théorème : il existe exactement 55 formes quadratiques à 4 variables représentant tout les entiers, par exemple f(x,y,z,t)=x^2 + y^2 + z^2 + t^2 (théorème des 4 carrés) (en réalité il démontre juste que ces 55 formes quadratiques représentent tous les entiers mais ne démontre pas qu'elles sont les seules).
Quelqu'un a-t-il des références au sujet de sa démonstration ?

Fin de partie · September 2020

A partir de la forme quadratique $q(x,y,t,u)=x^2+y^2+t^2+u^2$ on peut fabriquer, me semble-t-il, une infinité de formes quadratiques qui représentent tous les entiers.
Il suffit de remplacer $V=(x,y,t,u)$ par $W=Av$ où $A$ est une matrice unimodulaire (je crois que c'est la dénomination) c'est-à-dire ici une matrice carrée 4x4 inversible à coefficients entiers dont les coefficients de la matrice inverse sont aussi des entiers. (il me semble qu'il faut et qu'il suffit que son déterminant soit +1 ou -1).

Donc je m'étonne que Ramanujan n'ait trouvé que 55 telles formes quadratiques, il doit manquer quelque chose dans le résultat. (ou bien ce que j'ai écrit plus haut est totalement n'importe quoi ce qui est aussi une possibilité)

Math Coss · September 2020

Le titre de l'article est plus précis sur la forme des formes, ce qui explique qu'un changement de base unimodulaire ne donne rien de nouveau (on peut permuter les variables mais pas plus) :

S. Ramanujan, On the expression of a number in the form $ax^2 + by^2 + cz^2 + du^2$ [Proc. Cambridge Philos. Soc. 19 (1917), 11–21], Collected papers of Srinivasa Ramanujan, AMS Chelsea Publ., Providence, RI, 2000, pp. 169–178. MR 2280863