Le pgcd dans $\Z$

En lisant une preuve sur une proposition du PGCD dans $\Z$, j'ai l'impression que l'auteur se complique inutilement la vie, ce qui me fait douter quant à la façon dont je souhaiterais procéder. Pouvez-vous me dire si ma preuve est correcte ou si je passe à côté de quelque chose ?
Ici, le PGCD d'une famille quelconque $(a_i)_{i\in I}\in\Z^I$ est défini comme l'unique générateur positif $\wedge_{i\in I}a_i\in\N$ de l'idéal $\sum_{i\in I}a_i\Z$.

Proposition. Soient $\alpha\in\Z\ $ et $\ (a_i)_{i\in I}\in\Z^I\!.\, $ Alors $\lvert\alpha\rvert (\wedge_{i\in I}a_i)=\wedge_{i\in I}(\alpha a_i)$.

Preuve. En notant $\delta:=\wedge_{i\in I}a_i$, il vient simplement par associativité puis linéarité $(\lvert\alpha\rvert\delta)\Z=\alpha (\sum_{i\in I}a_i\Z)=\sum_{i\in I}(\alpha a_i)\Z$. D'où le résultat par unicité du PGCD dans $\Z$. En effet, selon moi, même si $I$ est infini, la linéarité est ici licite car il s'agit de sommes finies (car prises sur des familles presque nulles).

Correct ?