Restes chinois et sous-groupe cyclique
dans Arithmétique
Bonsoir,
On prend pour $1\le i \le n$ des nombres entiers $q_i$ premiers entre eux deux à deux, et un nombre $a$ premier avec les $q_i$.
On a le système d'équations $X=a^{k_1}[q_1] ; X=a^{k_2}[q_2] ; .....; X=a^{k_n}[q_n]$. Peut-on dire, on appliquant le théorème des restes chinois, que la solution est dans $<a>$ sous-groupe cyclique de $\Z/(\prod_{i=1}^n q_i)\Z$.
Merci pour vos réponses.
On prend pour $1\le i \le n$ des nombres entiers $q_i$ premiers entre eux deux à deux, et un nombre $a$ premier avec les $q_i$.
On a le système d'équations $X=a^{k_1}[q_1] ; X=a^{k_2}[q_2] ; .....; X=a^{k_n}[q_n]$. Peut-on dire, on appliquant le théorème des restes chinois, que la solution est dans $<a>$ sous-groupe cyclique de $\Z/(\prod_{i=1}^n q_i)\Z$.
Merci pour vos réponses.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$m:= \displaystyle \prod _{i=1}^nq_i.\quad$ Cela dépend du groupe $\Z /m\Z$ dont on parle:
S'il s'agit de $(\Z/m \Z ,+)$, alors la réponse est clairement positive: $\:\:a \wedge m =1 \implies \langle a \rangle =\Z/m\Z.$
En revanche, s'il est question de $(\Z/m\Z) ^{\times} $ (groupe des inversibles de l'anneau $\Z/m\Z$), alors c'est non:
$(X\equiv 2 \mod 9;\quad X\equiv 2^2 \mod 7 )\:\iff X \equiv 11 \mod 63 .\qquad$ Dans $(\Z/63\Z)^{\times},\:\: \langle \overline 2 \rangle = \{\overline 2, \overline 4, \overline 8, \overline {16}, \overline {32}, \overline 1\},\quad \overline {11} \notin \langle \overline 2 \rangle .$