Groupe des fonctions multiplicatives
dans Arithmétique
Bonsoir,
J'ai traité Q6, Q7 et Q8.
Je bloque à Q9. Je n'arrive jamais à résoudre les questions où il faut montrer l'existence.
J'ai traité Q6, Q7 et Q8.
Je bloque à Q9. Je n'arrive jamais à résoudre les questions où il faut montrer l'existence.
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Réponses
Donc, plutôt que de redire une $n$ème fois la même chose, je te renvoie à ce livre, dans lequel tout est expliqué.
Y a besoin d'un livre pour répondre à cette question ?
Quand on me donne les réponses le lendemain je ne sais plus faire.
Je voulais une indication pour le faire moi-même.
Oui je compte ensuite montrer que $f \ast g (p^k) = \delta (p^k)$ par le calcul puis utiliser Q6.
Je ne sais jamais comment démontrer l'existence :-S
J'ai trouvé la deuxième partie de la question. Si on suppose que $g$ existe alors comme $\mathcal D_{p^k} = \{p^l \mid 0 \leq l \leq k \}$ :
$\forall k \in \N^{*} ,\ \forall p \in \mathcal P, \ (f \ast g) (p^k)= \displaystyle\sum_{l=0}^k f(p^l) g(p^{k-l}) =
g(p^k)+ \displaystyle\sum_{l=1}^k f(p^l) g(p^{k-l}) = g(p^k)-g(p^k)=0$
Or $\forall k \in \N^{*}, \ \delta(p^k) =0 $ car $p^k >1$ on en déduit $\forall k \in \N^{*}, \ (f \ast g) (p^k)=\delta(p^k)$
Enfin $ \boxed{f \ast g = \delta} $
On a $g(n)=g(\displaystyle\prod_{i=1}^m p_i ^{k_i})$
Comme $\forall i \in [|1,n|] \ \forall j \in [|1,n|]$ tels que $i \ne j$ on a $p_i \wedge p_j =1 \implies p_i ^{k_i} \wedge p_j ^{k_j} =1.$
Ainsi, $\boxed{g(n)= \displaystyle\prod_{i=1}^m g(p_i ^{k_i})}$.
Mais je ne comprends pas où je vais :-S
Je ne vois pas le rapport avec l'existence de $g$ tel que $\forall p \in \mathcal P ,\ \forall k \in \N^{*} ,\ g(p^k)=-\displaystyle\sum_{i=1}^k f(p^i) g(p^{k-i})$.
Si je montre que $g$ est multiplicative, quel est le lien avec la relation de récurrence ?
Pour définir $g$ multiplicative il suffit de définir les $g(p^{k})$. As-tu des contraintes supplémentaires sur les $g(p^{k})$ ou peux-tu les choisir librement ?
Peut-être peux-tu essayer d’écrire explicitement pour les premières valeurs $k=1,2,\cdots$ ce qu'impose la contrainte supplémentaire de Q9 sur $g$ et voir si l'existence s'ensuit ?
Comme $1 \wedge 1$ on a $g(1)=g(1)^2$ et comme $g(1) \ne 0$ on a $\boxed{g(1)=1}$
Pour $k=1$ on a $g(p)=-f(p)g(1)$.
Pour $k=2$ on a $g(p^2)=- f(p) g(p) - f(p^2) g(1)=0$
On définit $g$ à partir de $f$ par récurrence ? Comme $f$ existe par hypothèse donc $g$ existe aussi ?
Eh bien oui, si par récurrence tu parles d'une récurrence sur $k$.
Si tu poses $g(1)=1$ (donc $g(p^0)=1$ pour $p$ premier), et que tu construis récursivement les $g(p^k)$ à partir des $g(p^{j})$, $j<k$, et de $f$... tu n'as rien fait de mal, non ? Tu n'as plus qu'à choisir le prolongement unique de $g$ aux entiers naturels de sorte qu'elle soit multiplicative, et tu as ton existence.
Il faut montrer que cette relation de récurrence existe.
On choisit $g(1)=1$ pour avoir $g$ multiplicative.
Par récurrence forte, on suppose que tous les $g(p), \cdots , g(p^{k-1})$ existent. On obtient que $g(p^k)$ existe d'après la relation de récurrence.
On a déterminé l'expression de $g(n)$ précédemment.
Soit $n_1 , n_2$ des entiers non nuls tels que $n_1 \wedge n_2 =1$.
Posons $n_1=\displaystyle\prod_{i=1}^{m_1} p_i ^{\alpha_i}$ et $n_2=\displaystyle\prod_{i=1}^{m_2} q_j ^{\beta_j}$
Comme $n_1$ et $n_2$ sont supposés premiers entre eux, ils n'ont aucun facteur en commun dans leur décomposition en facteurs premiers.
On a $g(n_1 n_2)=g(\displaystyle\prod_{i=1}^{m_1} p_i ^{\alpha_i} \displaystyle\prod_{i=j}^{m_2} q_j ^{\beta_j})=\displaystyle\prod_{i=1}^{m_1} g(p_i ^{\alpha_i}) \displaystyle\prod_{i=1}^{m_2} g(q_j ^{\beta_j})=g(n_1) g(n_2)$
Donc $g$ est multiplicative.