Limite de suite $q^n$

Bonjour,
Etudier la fonction $f(q)=(a-1)q^{n+1}-aq^n+1$, sachant que $f(1)=0$.
$f'(q)= q^{n-1}(...)$

Bonjour,

Je lis que vous n'avez pas démontré le résultat.

Voici ce que je propose, à vérifier :

On étudie la fonction $\displaystyle f_n: q \mapsto (a-1) q^{n+1} - a q^n+1$ pour $\displaystyle q >1, a>1, n \in \N^*.$ Cette fonction est dérivable, de dérivée la fonction $\displaystyle f'_n: q \mapsto q^{n-1}((a-1)(n+1) q - a n)$ qui s'annule en $\displaystyle {a \over a-1} {n \over n+1}$ pour tout $n$ entier non nul.

On calcule :
$\displaystyle {a \over a-1} {n \over n+1} \to {a\over a-1}, (n \to +\infty)$,
$\displaystyle f_n(1) = 0$ pour tout $n$ entier non nul,
$\displaystyle f_n(n) \to +\infty, (n \to +\infty).$

Puis on lit sur le tableau que $\displaystyle f_n({a \over a-1} {n \over n+1}) <0$ pour tout $n$ entier non nul,
et on calcule $\displaystyle f_n({a \over a-1}) = 1$ pour tout $n$ entier non nul.

Le tableau des variations montre qu'il existe, pour tout $n$ entier non nul, un unique $\displaystyle q_n$ tel que $\displaystyle f_n(q_n) = 0.$
Les calculs des valeurs particulières ci-dessus montrent que $\displaystyle {a \over a-1} {n \over n+1} <q_n <{a \over a-1}$ pour tout $n$ entier non nul.

On calcule alors la limite quand $n$ tend vers l'infini : $\displaystyle q_{\infty} = {a \over a-1} = 1 + {1 \over a-1} >1$ est la valeur optimale qui garantit que $\displaystyle f_n(q_{\infty}) =1>0$ pour tout $n$ entier non nul.