Carré parfait

amine82
amine82
dans Arithmétique
Bonjour,

Quand est-ce que $x^2+x-2^n$ est un carré parfait.
Merci pour vos réponses.

Réponses

  • Zig
    Zig
    Et bien quand x est de la forme $\frac{-1\pm\sqrt{1+4\left(2^{n}+a^{2}\right)}}{2}$, où a est un entier...
  • amine82
    amine82
    La question est quand x de cette forme est un entier ? :-(

    Je reformule ma question ...Pour quelles valeurs de $n$ il existe $x$ tel que $x^2+x-2^n$ soit un carré.
  • JLT
    JLT
    Pour toute factorisation $2^{n+2}+1=ab$, on pose $x=\dfrac{a+b-2}{4}$ et on a $x^2+x-2^n=\left(\dfrac{a-b}{4}\right)^2$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si $u=2^p(1-2^q)$ alors $u^2=2^{2p}(1-2^q)^2=2^{2p}(1-2^{q+1}+2^{2q})=2^{2p}-2^{2p+q+1}+2^{2(p+q)}$

    Maintenant si on prend $p=q$ et si on pose $k=2^{2p}$ alors $k^2+k-2^{3p+1}$ est un carré.
  • amine82
    amine82
    Merci pour vos réponses (tu)
  • amine82
    amine82
    Re bonjour, excusez-moi si j'en remets une couche.

    J'essaie de m'inspirer de la solution de JLT pour résoudre le même type de problème dans le cas $2^mx^2+x-2^n$.

    Contrairement à la réponse de Fin de partie ... j'espère que la solution puisse être impaire.
    Je coince là-dessus :-(
  • JLT
    JLT
    Dans le cas où $m$ est pair, pour toute factorisation $2^{m+n+2}+1=ab$ telle que $a-1$ soit divisible par $2^{\frac{m}{2}+1}$, on a une solution avec $x=\dfrac{a+b-2}{2^{m+2}}$ et on a $2^mx^2+x-2^n=\left(\dfrac{a-b}{2^{\frac{m}{2}+2}}\right)^2$.

    Exemple : si $m=2n-2$ alors $x=1$ est solution.
  • amine82
    amine82
    Merci JLT (tu)
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