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zephir · September 2020

Bonsoir à tous
En consultant la thèse de Dusart thèse, j'ai démontré l'énoncé suivant : $$\exists X\in \R_+ ,\ \forall p>X,\qquad q-p\le \dfrac {0.1*p} {\ln(p)^2}.
$$ Dans cette formule $q$ désigne le nombre premier successeur de $p$ et $\ln(x)$ le logarithme népérien de $x$.
J'ai trouvé que $X=\exp(22)$ convient.
À justifier.
Il doit y avoir mieux ?

J'ai conjecturé dans un fil précédent que $q-p\le \ln(p)^2+1$ qui est vrai numériquement pour les $p<X$.

lourrran · September 2020

Ta formule est fausse. Le terme $\dfrac{0.1}{\ln(p)^2} $ est plus petit que $1$.

zephir · September 2020

Merci pour ta remarque. Il manque $p$ au numérateur. J'ai rectifié.

noix de totos · September 2020

On peut faire facilement mieux : par exemple, d'après la Proposition 6.8 de cet article, pour tout $x \geqslant 396738$, on a l'existence d'un nombre premier $p$ tel que
$$0 < p-x \leqslant \frac{x}{25 (\log x)^2}.$$
En appliquant ça à $x=p_n$, on en déduit que, pour tout entier $n \geqslant 33608$
$$d_n := p_{n+1} - p_n \leqslant \frac{p_n}{25 (\log p_n)^2}.$$
En fait on a beaucoup mieux : pour $n$ grand, $d_n \ll p_n^{0,525}$. Voir cet article

zephir · September 2020

Merci noix de totos pour tes références. Ta première référence est accessible. La seconde n'est pas en accès libre.
Je commence à penser, malgré les résultats numériques, que $\forall a\in ]0,1/2[$ l'inégalité $q-p\ge p^a$ est vrai pour une infinité de $p$. La puissance $1/2$ serait alors une borne. Est-ce bien raisonnable ?

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