Sommes égales.

Bonjour, l'idée est simple mais il faut raisonner $\pmod{12}$ pour avoir `toutes' les solutions entières, bien sûr le problème se pose dans $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Q} $ et même dans $\mathbb{R}$.
$$a+b+c=d+e+f=S$$ et $$ab+bc+ca=de+ef+df=R$$ équivalent à l'énoncé initial.
On fixe $d$ et $a$ et on cherche $c+b=S-a$, $cb=R-a(S-a)$, $e+f=S-d$, $ef=R-d(S-d)$, ici $a\neq d$.
On tombe sur une [équation]
$x^2-(S-d)x+R-d(S-d)=0$ qu'on exige à son discriminant $\delta=\alpha^2$ c'est une condition nécessaire et suffisante dans $\mathbb{Z}$.
C'est $$ (1) \qquad (S+d)^2-4d^2-\alpha^2=4R=0 \pmod{4}.
$$ Ces deux solutions sont $d=d_1$ et $a=d_2$, mais pour avoir deux solutions entières il faut que le terme somme dans $-3d^2+2Sd+S^2-\alpha^2-4R$ donc $$(2) \qquad 2S=0\pmod{3}$$ c'est pour cela qu'on raisonne $\pmod{12}$.
Une dernière condition est que $$(3)\qquad 16S^2-12\alpha^2-48R\neq 0,$$ pour avoir $d\neq a$
Merci pour le problème.