Sommes égales.
dans Arithmétique
Bonsoir,
trouver 6 nombres entiers relatifs a, b, c, d, e, f vérifiant
kolotoko
trouver 6 nombres entiers relatifs a, b, c, d, e, f vérifiant
a + b + c = d + e + f
a2 + b2 + c2 = d2 + e2 + f2
Bien cordialement.a2 + b2 + c2 = d2 + e2 + f2
kolotoko
Réponses
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Salut, il y a une infinité de solutions par exemple :a=31,b=11,c=27,d=15,e=35,f=19.
Il y a même une infinité de solutions au système un peu plus exigeant:
a2+b+c=d2+e+f
a4+b2+c2=d4+e2+f2
Par exemple: a=5,b=31,c=55,d=7,e=43,f=19.
Bonne journée -
Bonjour,
oui, on a aussi par exemple :
76 + 33 + 17 = 73 + 41 + 12 = 63 + 56 + 7 = 126
762 + 332 + 172 = 732 + 412 + 122 = 632 + 562 + 72 = 7154
Comment faire en général ?
Bien cordialement.
kolotoko -
Pour trouver les méthodes et formules, vous pouvez consulter "Histoire de la théorie des nombres " de l'américain L.E Dickson au chapitre "égales sommes de mêmes puissances".
Pour ma part j'ai une méthode bien particulière pour trouver des solutions .Mais "cette marge est trop exigüe...etc..etc"
Bonne lecture. -
Bonjour, l'idée est simple mais il faut raisonner $\pmod{12}$ pour avoir `toutes' les solutions entières, bien sûr le problème se pose dans $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Q} $ et même dans $\mathbb{R}$.
$$a+b+c=d+e+f=S$$ et $$ab+bc+ca=de+ef+df=R$$ équivalent à l'énoncé initial.
On fixe $d$ et $a$ et on cherche $c+b=S-a$, $cb=R-a(S-a)$, $e+f=S-d$, $ef=R-d(S-d)$, ici $a\neq d$.
On tombe sur une [équation]
$x^2-(S-d)x+R-d(S-d)=0$ qu'on exige à son discriminant $\delta=\alpha^2$ c'est une condition nécessaire et suffisante dans $\mathbb{Z}$.
C'est $$ (1) \qquad (S+d)^2-4d^2-\alpha^2=4R=0 \pmod{4}.
$$ Ces deux solutions sont $d=d_1$ et $a=d_2$, mais pour avoir deux solutions entières il faut que le terme somme dans $-3d^2+2Sd+S^2-\alpha^2-4R$ donc $$(2) \qquad 2S=0\pmod{3}$$ c'est pour cela qu'on raisonne $\pmod{12}$.
Une dernière condition est que $$(3)\qquad 16S^2-12\alpha^2-48R\neq 0,$$ pour avoir $d\neq a$
Merci pour le problème. -
Bonjour,
on va retrouver l'exemple de J.Faizant.
a = 4x, b = 3x + y, c = 5y - x, d = 4y, e = x + 3y, d = 5x - y
Il suffit de prendre x = 25/4 et y = 49/4.
On a encore de la marge.
Bien cordialement.
kolotoko
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Bonjour!
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