Équation avec nombres premiers

Bonjour,

Petit théorème de Fermat.

On chasse le dénominateur.
On calcule modulo $q.$ On trouve $2p=p^2$ modulo $q.$ On trouve $p=-qU$ modulo $2.$ Donc $p=2.$

On note ${p^q-q^p\over p+q}+1=a.$
On chasse le dénominateur. On trouve $qa=0$ modulo $p.$ Donc $a=p.$

On reporte $2^q=q^2+q+2.$
Par récurrence, $2^q>q^2$ pour $q\geq 6.$ Donc $q=2,3,5$. On calcule : $q=5.$

$(p,q)=(2,5)$ est bien l’unique solution.