Somme d'une suite finie encadrée

Conseil · September 2020

Bonjour, je cherche à déterminer $x$ étant donnée la somme suivante.
\[
a = \sum_{i=1}^n \min(B_i,x), \quad
a \in \R,\quad
B_i \in [0,+\infty[.

\] L'ordre des $B_i$ n'a pas d'importance, ils peuvent être classés par ordre croissant. Ce qui peut donner quelque chose de la forme :
\[
a = (n-k)x + \sum_{i=1}^kB_i,\quad

k = \sum_{i=1}^n 1_{B_i \leq x}.
\]

Chalk · September 2020

Je ne suis pas sûr de comprendre, mais tu ne peux pas déterminer $x$ en toute généralité uniquement à partir de $a$ et $B_i$ sans autre hypothèse, puisque justement il se pourrait très bien que tous les $B_i$ soient inférieurs à $x$, et dans ce cas $n=k$. Ce qui signifie que pour un même $a$ et des même $B_i$, une infinité de $x$ peuvent correspondre.

Du coup, que cherches-tu plus exactement ? Quel est ton vrai problème ?

Conseil · September 2020

J'ai un signal discret $B_i$ étant la somme de signaux élémentaires. J'ai la somme de l'un de ces signaux sur un intervalle de temps ($a$). J'aimerais approximer ce signal par une constante ($x$) sauf lorsque cette constante dépasse la somme des signaux élémentaires $B_i$ tout en conservant la valeur de la somme sur l’intervalle.

\[
B_i = S_i + \epsilon_i, \quad

\sum_{i=1}^n S_i = a, \quad

S_i' = \begin{cases}
x, & \text{si}\ x<B_i \\
B_i, & \text{sinon}
\end{cases}, \quad

\sum_{i=1}^n S_i' = a, \quad
\]

Il y a effectivement une condition à ajouter :
\[
\sum_{i=1}^n B_i \geq a
\]

Somme d'une suite finie encadrée

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