Question sur les ordres dans un groupe
dans Arithmétique
$\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}$Bonsoir
Je suis un peu perdu. Je viens de lire sur wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_(théorie_des_groupes)#:~:text=Si f est injectif, alors,injectif entre deux groupes donnés le texte suivant.
Si $f : G \to H$ est un morphisme, et $a$ est un élément de $G$ d'ordre fini, alors $\ord(f(a))$ divise $\ord(a)$. Par exemple, le seul morphisme $h : \mathfrak S_3 \to \Z/5\Z$ est le morphisme nul, parce que chaque nombre sauf zéro dans $\Z/5\Z$ est d'ordre $5$, qui ne divise pas les ordres $1$, $2$ et $3$ des éléments de $\mathfrak S_3$.
Le problème c'est que l'application $f: (\Z/5\Z,+)\to (\Z/5\Z^*,×),\ n\mapsto 3^n$ est bien un morphisme de groupes et $\ord(3)$ dans le groupe multiplicatif ne divise par $\ord(1)$ dans le groupe additif.
La question est simple...Où est l'erreur ??? :-S
Je suis un peu perdu. Je viens de lire sur wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_(théorie_des_groupes)#:~:text=Si f est injectif, alors,injectif entre deux groupes donnés le texte suivant.
Si $f : G \to H$ est un morphisme, et $a$ est un élément de $G$ d'ordre fini, alors $\ord(f(a))$ divise $\ord(a)$. Par exemple, le seul morphisme $h : \mathfrak S_3 \to \Z/5\Z$ est le morphisme nul, parce que chaque nombre sauf zéro dans $\Z/5\Z$ est d'ordre $5$, qui ne divise pas les ordres $1$, $2$ et $3$ des éléments de $\mathfrak S_3$.
Le problème c'est que l'application $f: (\Z/5\Z,+)\to (\Z/5\Z^*,×),\ n\mapsto 3^n$ est bien un morphisme de groupes et $\ord(3)$ dans le groupe multiplicatif ne divise par $\ord(1)$ dans le groupe additif.
La question est simple...Où est l'erreur ??? :-S
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ce qui est bien défini, ce sont les applications suivantes, et ce sont des morphismes : $\Z\to(\Z/5\Z)^\times$, $n\mapsto3^n$ et $\Z/4\Z\to(\Z/5\Z)^\times,\ n\mapsto3^n$.