Nombres de Carol et de Kynea

@LOU16

Merci pour les indications.

Et de cela, on en déduit que si $C_{n}$ est un nombre premier de Carol, alors c’est un facteur premier de $M_{\alpha_{n}}=\left(2^{\alpha_{n}}-1\right)$

En effet, si on pose $M_{C_{n}-1}=M_{2\alpha_{n}}=\left(2^{2\alpha_{n}}-1\right)=(2^{\alpha_{n}}-1)\cdot (2^{\alpha_{n}}+1)$, comme $C_{n}$ est premier impair tel que $2\land C_{n}=1$, alors le petit théorème de Fermat nous permet de dire que $C_{n}$ est un facteur premier de $M_{C_{n}-1}=M_{2\alpha_{n}}=\left(2^{2\alpha_{n}}-1\right)= \left(2^{\alpha_{n}}-1\right)\cdot \left(2^{\alpha_{n}}+1\right)$. Et comme on vient de prouver que $C_{n}$ ne divise pas $\left(2^{\alpha_{n}}+1\right)$, alors $C_{n}$ est donc un facteur premier de $\left(2^{\alpha_{n}}-1\right)$.

Exemple Pour $n=4$, $C_{4}=223$, $\alpha_{4}=111$. Et donc $223$ est un facteur premier de $M_{111}=(2^{111}-1)$.

Il en est de même pour les nombres premiers de Kynea.



Cordialement.