Inégalité dans l'Apostol

Non, aucun rapport : la différence des deux fonctions mesure juste la contribution des nombres composés aux deux sommes.

Bien sûr que l'hypothèse de Riemann implique ce que tu dis, c'est évident, et elle implique un résultat similaire pour la fonction $\psi$.

Mais cette inégalité est indépendante de l'hypothèse de Riemann.

Sous HR, on a actuellement $\left| \theta(x) - x \right| \leqslant \frac{1}{8 \pi} \sqrt x (\log x)^2$ pour tout $x \geqslant 599$ (Schœnfeld, 1976).

Récemment, des progrès ont été fait dans ce sens : depuis 2018 (Büthe, Platt & Trudgian), on sait que l'inégalité $\left| \theta(x) - x \right| \leqslant \frac{1}{8 \pi} \sqrt x (\log x)^2$ est vraie pour tout $599 \leqslant x \leqslant 1,89 \times 10^{21}$.

À ma connaissance, la constante $\frac{1}{8 \pi}$ n'a pas été améliorée à l'heure actuelle. Des considérations heuristiques semblent toutefois suggérer que
$$\limsup_{x \to + \infty} \frac{\theta(x)-x}{\sqrt{x} (\log \log x)^2} = \frac{1}{2 \pi}$$
et même chose avec $\liminf$ à la place de $\limsup$ et $- \frac{1}{2 \pi}$ à la place de $\frac{1}{2 \pi}$.