Problème élémentaire
dans Arithmétique
Bonsoir à tous
Je bloque sur un problème en apparence simple.
Dans le but de s'entrainer pour avoir l'examen d'arithmétique, un étudiant a pris la bonne résolution de résoudre au moins un problème par jour, et ce pendant une année, mais en sachant qu'il en résoudra au plus 11 par semaine. Montrer qu'il existe une période dans l'année (i.e un intervalle entier de jours) où il résoudra exactement 20 problèmes.
Je note $x_{t}$ le nombre de problème résolu au jour $t$.
Les conditions de l'énoncé se traduisent par :
$$\begin{cases}
x_{t} < x_{t+1} \\
7 \ \leq x_{t+7} - x_{t} \leq 11 \\
365 \leq x_{365} \leq 52*11
\end{cases}
$$ Je ne sais pas comment faire.
Si quelqu'un possède une piste de résolution je suis preneur.
Je bloque sur un problème en apparence simple.
Dans le but de s'entrainer pour avoir l'examen d'arithmétique, un étudiant a pris la bonne résolution de résoudre au moins un problème par jour, et ce pendant une année, mais en sachant qu'il en résoudra au plus 11 par semaine. Montrer qu'il existe une période dans l'année (i.e un intervalle entier de jours) où il résoudra exactement 20 problèmes.
Je note $x_{t}$ le nombre de problème résolu au jour $t$.
Les conditions de l'énoncé se traduisent par :
$$\begin{cases}
x_{t} < x_{t+1} \\
7 \ \leq x_{t+7} - x_{t} \leq 11 \\
365 \leq x_{365} \leq 52*11
\end{cases}
$$ Je ne sais pas comment faire.
Si quelqu'un possède une piste de résolution je suis preneur.
Réponses
-
Bonjour,
L'étudiant résout au moins un problème par jour, donc au minimum 14 sur deux semaines consécutives ou 21 sur trois semaines consécutives.
L'étudiant peut résoudre au maximum 11 problèmes par semaine, donc au maximum 22 sur deux semaines consécutives.
A bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
le : "il en résoudra au plus 11 par semaine" mérite d'être modifié : sur toute période de 7 jours consécutifs, il aura résolu au plus 11 problèmes (le danger étant sinon de considérer la semaine type du lundi au dimanche, ce qui ne donne pas les mêmes contraintes...)
. -
$\newcommand{\Card}{\mathrm{Card}}$J'ai pu résoudre le problème.
Je propose ainsi une correction.
Posons $a_i$ le nombre de problèmes résolus depuis le début de l'année au jour $i$.
Donc : $a_i - a_{i-1} \geq 1$ et $a_{i+7} - a_i \leq 11$ et $a_{365} \leq 572$. (Énoncé)
On cherche $i_0$ et $j_0$ tels que $a_{j_0} - a_{i_0} = 20$.
$\Card (\Omega_1) = \Card (\{ a_i \mid 1 \leq i \leq 365 \}) = 365$
$\Card (\Omega_2) = \Card (\{ a_{i} +20 \mid 1 \leq i \leq 365 \}) = 365$
Et : $\Omega_1 \cup \Omega_2 \subset \{ 1, \dots, 592 \}$
Finalement : $\Card (\Omega_1) + \Card (\Omega_2) = 730 \geq 592$
Nécessairement, $\Omega_1 \cap \Omega_2 \neq \emptyset \hspace{4.5cm}\square$
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Bonjour!
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