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Petit exercice de math

NicolasBourbaki0NicolasBourbaki0
dans Arithmétique
Bonjour ,voici un petit exercice assez facile:
Quelle est la bonne réponse
ab=-4 ou a+b=-4
Sachant qu' a^2=5-b
Et b^2=5-a

Réponses

  • Math CossMath Coss
    Sans hypothèse supplémentaire, aucun des deux a priori.

    PS : figure.110396
  • jandrijandri
    $ab=-4$
  • DomDom
    Je ne sais pas répondre au risque de n’avoir pas compris la consigne :

    On soustrait :

    $a^2-b^2=a-b$

    $(a-b)(a+b-1)=0$

    $a=b$ ou $a=1-b$

    Quid ?
  • Math CossMath Coss 
    sage: solve([a^2-5+b,b^2-5+a],[a,b])
[[a == -1/2*sqrt(17) + 1/2, b == 1/2*sqrt(17) + 1/2], [a == 1/2*sqrt(17) + 1/2, b == -1/2*sqrt(17) + 1/2], [a == -1/2*sqrt(21) - 1/2, b == -1/2*sqrt(21) - 1/2], [a == 1/2*sqrt(21) - 1/2, b == 1/2*sqrt(21) - 1/2]]
sage: D = solve([a^2-5+b,b^2-5+a],[a,b],solution_dict=True)
sage: [map(expand,(a.subs(d)*b.subs(d),a.subs(d)+b.subs(d))) for d in D]
[[-4, 1],
 [-4, 1],
 [1/2*sqrt(21) + 11/2, -sqrt(21) - 1],
 [-1/2*sqrt(21) + 11/2, sqrt(21) - 1]]
  • jandrijandri
    Math Coss a raison, sans hypothèse supplémentaire on ne peut pas donner la valeur de $ab$ ni celle de $a+b$.

    En revanche si on suppose de plus $a\neq b$ on peut conclure que $ab=-4$.
  • DomDom
    En effet c’est ce que je suggérais aussi.
    Ajoutons $a\neq b$.
    Alors je continue mon raisonnement (produit nul) : $b=1-a$.
    Alors : $a^2=5-(1-a)$ ce qui s’écrit encore $a^2-a-4=0$.
    Cette équation du second degré vérifiée pour $a$ l’est aussi pour $b$ (distinct de $a$) donc, quand on se rappelle de la forme $x^2-Sx+P=0$ où les lettres $S$ et $P$ ne sont pas choisies par hasard, on obtient : $ab=-4$.
    Sans même résoudre ladite équation.
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