Divisibilité par 37

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Arithmétique
Bonjour,

Comment voir si un entier à moult chiffres est divisible par 37 ?

A+
Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)

Réponses

  • ev
    ev
    Bonjour Pete.

    On cherche l'ordre de 10 modulo 37, non ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • gai requin
    gai requin
    Il suffit de savoir multiplier un chiffre par $10$ ou par $-11$ et savoir effectuer des sommes d'entiers à deux chiffres.
    Par exemple, $25678923\equiv 3+20-99+8+70-66+5+20\equiv-39\equiv 35\bmod 37$.
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est $4$ parce que $27\times 37=10^4-1$.
  • gai requin
    gai requin
    $27\times 37=10^3-1$ ;-)
  • Math Coss
    Math Coss
    Ah ! Je comprends ma bêtise. J'ai fait calculer à Sage l'ordre de $37$ modulo $10$, qui vaut $4$, ce dont tout le monde se fiche. Après j'ai décidé que $999$, c'était $10^4-1$ pour être raccord. Bon... je sors.
  • gai requin
    gai requin
    @Math Coss : Après correction, ta remarque induit une curiosité.
    Tout entier à $3n$ chiffres tous égaux à $9$ est divisible par $37$. :-)
  • Math Coss
    Math Coss
    Certes, c'est même un fait général. Tout nombre $p$ premier à $10$ (ou premier tout court pour simplifier), divise une chaîne de neuf de la forme $10^d-1$. Alors, pour tout $n$, la chaîne de $dn$ neuf $10^{nd}-1$ est aussi divisible par $p$.

    Autre conséquence amusante de $27\times37=10^3-1$ (c'est équivalent) : \[\frac1{37}=0{,}027\,027\,027\,027\,\cdots\]
  • gai requin
    gai requin
    Oui, $\quad\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty}10^{-3n}=\dfrac 1{10^3-1}$.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Compte tenu de $1000 = 37*27 + 1$, on peut faire aussi
    $25678923 = 25 + 678 + 923 = 1626 = 1 + 626 = 627 = 16*37 + \bf{35}$.

    A+
    Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    $37×3=11×10-(-1)$ donc tu peux soustraire 11 fois le chiffre des unités au nombre (entiers) de dizaines. Le résultat est un multiple de 37 si et seulement si le nombre initial est un multiple de 37.
    Par exemple avec 1446 :
    $144-11×6=144-66=78$ qui n’est pas un multiple de 37 donc 1446 non plus.
    Et avec 5254 :
    $525-11×4=525-44=481$. On recommence : $48-11×1=48-11=37$ donc 5254 est un multiple de 37.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Guego
    Guego
    Sinon, on peut poser la division par 37.
  • nodgim
    nodgim
    5254 ?
    =259=037
    fini.
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour

    Avant de lire vos réponses brillantes, j'aurais fait naturellement ceci :
    25678923 = 3478923 = 148923 = 37923 = 4623 = 183 = 72 = 35 [37] puisque 111=37*3

    À noter : cet exemple va bien. Le chiffre en tête est toujours inférieur aux deux autres. Prenons un exemple moins sympa.

    987654321 = 99654321 = 10854321 = 864321 = 87321 = 9621 = 741 = 75 = 1 [37]

    Comme il a été dit plus haut, "autant poser la division".
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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