Une équation entière

Il est facile de majorer $x$ et $y$, puis de tester tous les candidats avec un ordinateur pour en déduire toutes les solutions.
C’est un passage en force sans subtilité, mais c’est efficace dans ce cas.

@Chaurien : je ne savais pas que Fibonacci avait quoi que ce soit à voir avec cette identité.

Il me semble qu'on trouve ça dans le Liber Quadratorum de Fibonacci.
https://www.livre-rare-book.com/book/5472499/17992/fr
Leonardo Bigollo, dit Léonard de Pise, dit Fibonacci, est le père du renouveau des mathématiques européennes.

@ kolotoko
On peut voir ça comme un produit matriciel, ou comme le produit de deux éléments d'une extension quadratique, comme le produit de deux nombres complexes : $(a+b\sqrt{-d})(a^{\prime }+b^{\prime }\sqrt{-d})=(aa^{\prime }-dbb^{\prime
})+(ab^{\prime }+ba^{\prime })\sqrt{-d}$.
Laquelle extension peut aussi s'interpréter comme un espace de matrices $2 \times 2$, c'est une des Constructions de $\mathbb C$, dont on fait grand cas périodiquement sur ce forum, toujours féru de l'Origine du Monde.
Tout est dans tout ... et réciproquement ;-).
Bonne journée.
Fr. Ch.

Il y a deux solutions : 8450 et 14365.
Je vous laisse écrire les couples $(x,y)$ qui conviennent dans chaque cas.

def cherche9(top):
    l = {}
    top_x = int(top**.5)
    for x in range(top_x):
        x2 = x*x
        top_y = int(((top - x2)/3)**.5)+1
        for y in range(top_y):
            k = x2 + y*y
            if k in l:
                l[k].append((x,y))
            else:
                l[k] = [(x,y)]
    return {k:l[k] for k in l if len(l[k])==9}

print(cherche9(37828))

Bonjour,
Le propos qui suit, relatif à la dernière question de ce fil, fournit une caractérisation des entiers $n$ pour lesquels il existe exactement $9$ couples $(x;y) \in \N^2$ vérifiant $x^2+3y^2 =n, \:$ obtenue à partir d'une expression un peu luxuriante du nombre de ces décompositions.

$\forall n \in \N^*, \:\: A(n ):=\text{Card} \left\{ (x;y) \in \N^2 \mid x^2+3y^2 =n \right\}, \quad\delta _n := \left\{\begin {array} {cl} 1& \text{si}\:\: n\equiv 0 \mod 4 .\\ 0 & \text{sinon}.\end{array}\right. \\ \mathbb P \:\text{est l'ensemble des nombres premiers.} \:\:A:= \left\{ p \in \mathbb P \mid p \equiv 1 \mod 3.\right\}, \quad B:= \left\{ p \in \mathbb P \mid p \equiv 2 \mod 3, \: p\neq 2.\right\}.\quad\\ \widehat B \: \text{est l'ensemble des produits d'éléments de}\: B. \:\:\:(1\in \widehat {B}) \quad \text{Alors}:$
$$\boxed{\quad A(n) =\displaystyle \left(\prod _{p\in B\cup \{2\}}\dfrac {1 +(-1)^{v_p(n)}}2\right ) \Bigg \lfloor \dfrac {1+(1+2 \delta_n) \prod _{p\in A}(1 + v_p(n))}2 \Bigg \rfloor \quad}$$
Ainsi:$\quad \forall n \in \N^* , \quad A(n) = 9 \iff \exists a \in \N, s \in \widehat B \:\:\text {tels que}\:\: \dfrac n{3^a s^2 } =\left\{\begin{array}{lc} 4^b q^2 r \:&\text{ou}\\
p^2q^2r\:&\text{ou} \\
4^b q^5\:& \text{ou}\\
p^2q^5 \:& \text{ou} \\
p^8q\:&\text{ou}\\
p^{16}\:&\text{ou}\\
p^{17}.\end{array}\right.\qquad (b\in \N^*\:\: p,q,r \in A\:\text {distincts}.)$

$2548=4 \times 7^2\times 13 ,\quad 6076=4\times 7^2\times 31,\quad 3724,\quad 4 \times 7^2\times 19, \quad4732=4\times 13^2\times 7,\quad 7252= 4 \times 7^2\times 37, \quad 7644=3\times 4 \times 7^2\times 13\dots $

$\def\ACQ{A^{\rm CQ}}\def\ALOU{A^{\rm LOU}}$LOU16
J'ai mentionné tes $a_n$ mais ils n'existent plus dans la dernière version de ton post. Histoire de pouvoir échanger (on a maintenant la même notation pour deux objets différents, je parle de $\N$ chez toi, de $\Z$ chez moi, que je dois diviser par 2 because les unités de $\Z[2j]$)
$$
\ALOU(n) = \#\{ (x,y) \in \N \times \N \mid x^2 + 3y^2 = 1\}
\qquad\qquad
\ACQ(n) = {1 \over 2} \#\{ (x,y) \in \Z \times \Z \mid x^2 + 3y^2 = 1\}
$$La mienne est multiplicative (je n'y suis pour rien : formes modulaires de poids 1 ...etc..., cf Kani). Mais la tienne ne l'est pas (je ne parle pas de formule mais par définition)
$$
\ALOU(4) = 2, \quad \ALOU(7) = 1, \quad \ALOU(28) = 3, \qquad \qquad\qquad
\ACQ(4) = 3, \quad \ACQ(7) = 2, \quad \ACQ(28) = 6
$$Quand tu auras le temps, pourras tu vérifier ce que je raconte sur les 3 valeurs de $\ALOU$ ci-dessus ? Merci.

Voici une autre manière de calculer $\ACQ$ sans passer par $B$ de $x^2 + xy + y^2$, en utilisant la multiplicativité et la connaissance sur les $p^v$ (facteurs eulériens).

[color=#000000]////  Calcul "direct" de A(n) i.e. par multiplicativite sans passer par B.
// Ici, precisions sur les "facteurs euleriens"
// A(n) = (1/2) *  #{(x,y) in ZxZ | x^2 + 3*y^2 = n}. Division par 2 = #Z[2j]^x
// A est multiplicative et
//   A(3^v) = 1
//   A(2^v) = 3 si v pair, 0 sinon
//   A(p^v) = v+1          si p = 1 mod 3
//   A(p^v) = 1 si v pair, 0 sinon  si p = 2 mod 3 et DISTINCT de 2

Adirect := function(n)	  // sans passer par B
  P := PrimeDivisors(n) ;
  P1 := [p : p in P | p mod 3 eq 1] ;
  P2 := [p : p in P | p mod 3 eq 2 and p ne 2] ;
  // contribution des premiers p = 1 mod 3  : 1 + v_p(n)
  C1 := [Z| 1 + Valuation(n,p) : p in P1] ;
  // contribution des premiers p = 2 mod 3  : 1 si v_p(n) est pair, 0 sinon
  C2 := [Z| IsEven(Valuation(n,p)) select 1 else 0 : p in P2] ;
  // contribution de p=3 est 1 que 3 soit dans P ou pas
  C3 := 1 ;
  // contribution de 2 : 1 si 2 notin P, sinon cf plus haut
  Cdeux := 2 notin P select 1 else (IsEven(Valuation(n,2)) select 3 else 0) ;
  return &*C1 * &*C2 * C3 * Cdeux ;
end function ;
[/color]

PS : je n'ai pas encore regardé ta formule.

Re
@Claude
Ton message m'a permis de moi aussi me replonger dans ces histoires.
Pour $B(n)$, les choses sont effectivement plus simples, et, à la lumière de ton intervention, je suis parvenu à une belle expression de $B(n)$, qui bien entendu doit être parfaitement connue. Je conserve tes notations.

$\mathcal I$ est l'ensemble des idéaux de $\Z[\mathbf j],\quad \mathfrak P$ celui des idéaux premiers de $\Z[\mathbf j].$
$B(n) =\dfrac 16\text{Card}\left\{(x;y) \in \Z^2 \mid x^2-xy + y^2 =n\right\} = \text {Card}\left\{I \in \mathcal I\mid \mathcal N(I) = n \right\}. \quad $ Alors :
$\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}\dfrac {B(n)}{n^s} =\sum_{I \in \mathcal I}\dfrac1 {\mathcal N(I)^s}= \prod_{\pi \in \mathfrak P} \Big(1 -\dfrac 1{\mathcal N(\pi)^s}\Big)^{-1}=\Big(1-\dfrac 1{3^s}\Big)^{-1}\prod _{\substack {p\in \mathbb P\\ p \equiv 1 \mod 3}}\Big( 1- \dfrac 1{p^s}\Big) ^{-2}\prod _{\substack {q \in \mathbb P\\ q \equiv 2 \mod 3}}\Big( 1- \dfrac 1{q^{2s}}\Big) ^{-1}$
$\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}\dfrac {B(n)}{n^s} =\prod _{p\in \mathbb P}\Big(1-\dfrac 1{p^s}\Big)^{-1}\prod _{p\in \mathbb P}\Big(1-\dfrac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} =\sum_{n\geqslant 1} \dfrac 1{n^s} \sum_{n\geqslant 1} \dfrac {\chi(n)} {n^s}. \qquad \boxed{\displaystyle B(n) =(\mathbf 1 \star \chi)(n) =\sum_{d/n}\chi(d) .} $

@Kolototo
Je réponds à ta question, d'une manière un peu approximative, mais qui donne une idée de la façon dont sont structurées toutes les solutions.
Si $n$ contient dans sa décomposition en facteurs premiers un nombre $p \equiv 2 \mod 3$ affecté d'un exposant impair, alors $A(n) =0$.
Dans le cas contraire , par exemple $n =4 \times 7^3\times 13^2 \times 37.\:\:$ Je note $\alpha = \mathbf i\sqrt{3}$

On décompose $4 =2^2+( 3\times0^2)=1^2+(3\times 1^2), \qquad 7=2^2+( 3\times1^2), \qquad 13=1^2+ (3\times2^2), \qquad 37 =5^2+ (3\times2^2).$
(Pour tout $p\:\text{premier}\: \equiv 1 \mod 3$, une telle décomposition existe et est unique.)

Alors les solutions dans $\N^2$ de $x^2+3y^2=n$ sont les couples $(|A|;|B|)$ où les entiers $A$ et $B$ sont définis par :
$$A +B\alpha =( 2\:\pm \:0\alpha)\Big[(2\:\pm1\: \alpha)(2\:\pm\:1 \alpha)(2\:\pm\:1 \alpha)\Big]\Big[(1\:\pm\:2 \alpha)(1\:\pm\:2 \alpha)\Big](5\:\pm\:2 \alpha)\phantom{.}\quad\text{ou} \\
A +B\alpha = (1\:\pm1\:\alpha)\Big[(2\:\pm\:1 \alpha)(2\:\pm\:1 \alpha)(2\:\pm\:1 \alpha)\Big]\Big[(1\:\pm\:2 \alpha)(1\:\pm2 \:\alpha)\Big](5\:\pm2\: \alpha).\phantom{\quad\text{ou}}
$$ On obtient ainsi $A^{\text{LOU}} (n) =36$ solutions.

$\def\ZP{Z^{\text{parasite}}}$LOU16. Bien vu ton post sur l'expression de $B(\bullet)$ via $\bf 1 \star \chi_{-3}$. Du coup, je te parle de deux choses.

1. Ici, indirectement les $B(n)$. Un objet mystérieux nommé $M_1(\Gamma_1(3), \chi_{-3})$ : espace des formes modulaires de poids 1 relativement ... etc... Il est de dimension 1. Et on sait démontrer que la $\Theta$-série $\Theta_{1,1,1}(q)$ de $(1,1,1) = x^2 + xy + y^2$ de discriminant $-3$ est le développement en $q = 0$ d'un habitant de $M_1(\Gamma_1(3), \chi_{-3})$. J'ai cherché pendant plusieurs jours à y faire rentrer un autre habitant (par exemple, un machin que l'on appelle un $\eta$-produit ou quotient) mais je n'ai rien trouvé. En désespoir de cause, je demande au logiciel ce qu'il sait de $M_1(\Gamma_1(3), \chi_{-3})$.

D'abord un petit coup d'oeil sur $\Theta_{1,1,1}(q)$ avec ses coefficients multiples de 6. Grosso modo les $B(n)$, au facteur 6 près.

[color=#000000]> q111 ;
<1,1,1>
> Parent(q111) ;
Binary quadratic forms of discriminant -3
> 
> N := 50 ;                
> T111<q> := ThetaSeries(q111, N) ;
> T111 ;
1 + 6*q + 6*q^3 + 6*q^4 + 12*q^7 + 6*q^9 + 6*q^12 + 12*q^13 + 6*q^16 + 12*q^19 + 12*q^21 + 6*q^25 + 6*q^27 + 
    12*q^28 + 12*q^31 + 6*q^36 + 12*q^37 + 12*q^39 + 12*q^43 + 6*q^48 + 18*q^49 + O(q^51)
[/color]

Puis $M_1(\Gamma_1(3), \chi_{-3})$ pour vérifier que tout baigne.

[color=#000000]> M1minus3 := ModularForms(KroneckerCharacter(-3), 1) ;
> M1minus3 ;
Space of modular forms on Gamma_1(3) with character Kronecker character -3, weight 1, over Integer Ring.
> Dimension(M1minus3) ;
1
> Basis(M1minus3) ;
[  1 + 6*q + 6*q^3 + 6*q^4 + 12*q^7 + 6*q^9 + O(q^12) ]
> f := qExpansion(Basis(M1minus3)[1], N) ;
> f - T111 ;
O(q^50)
[/color]

$\bullet$. Je passe aux $A(n)$ (``mes $A^{\text{CQ}}(n)$''), suite liée à la forme quadratique $x^2 + 3y^2 = n$ de discriminant $-12$ ou si on veut à l'anneau quadratique $\Z[\sqrt {-3}]$ de discriminant $-12$. J'attache l'extrait de Kani qui a tout déclenché chez moi. Evidemment, il faut disposer des notations, rentrer dans les 20 pages précédentes.

Pour faire simple, on va dire que $\vartheta_\chi$, c'est quelque chose attaché à $x^2 + 3y^2$, qui possède d'une part un développement en série en $q$, au sens $\sum_{n \ge 0} A(n)q^n$, et d'autre part une L-série. A gauche, en bleu, lorsque l'on défait ce que cela dit (en faisant attention aux multiplicateurs), cela concerne les séries en $q$ :
$$
3\Theta_{1,0,3}(q) = \Theta_{1,1,1}(q) + 2\Theta_{1,1,1}(q^4) \qquad \qquad q \longleftrightarrow e^{2i\pi z}, \qquad z \in \mathbb H
$$Et à droite, cela concerne les L-séries. On voit juste, par rapport à $\zeta_K$ dont tu nous a parlé, qu'il y a une petit facteur parasite en $p = 2$, qu'il faut écrire en $1/2^s$
$$
1 + 2^{1 - 2s} = \ZP_2(1/2^s) \quad \text{avec} \quad \ZP_2(T) = 1 + 2T^2
$$Cumulé avec le facteur eulérien en $2$ de $\zeta_K$ qui est ${1 \over (1-T)(1-\chi_{-3}(2)T)} = {1 \over 1-T^2}$, cela va nous donner comme facteur eulérien en 2 pour le tout
$$
{1 + 2T^2 \over 1 - T^2} = -2 + {3 \over 1-T^2} = 1 + 3T^2 + 3T^4 + 3T^6 + \cdots
$$Note : les deux informations encadrées, en bleu ou en rouge, sont équivalentes.

Bref, ces 5 lignes de Kani, cela a fait tilt dans ma tête. Et cela m'a permis de relire son papier (30 pages). Je suis très très loin d'avoir tout pigé.

$\def\F{\mathbb F}$@LOU16, Kolokoto,

Lou16 : je n'ai pas compris la deuxième partie de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2104524,2107690#msg-2107690 où tu trouves 36 solutions. Il me semble que je l'ai lu attentivement. Cela m'a fait bizarre de voir $\pm 0 \alpha$. Et j'ai eu l'impression, concernant $13^2$, que l'on ne voyait pas la solution $(x=13, y=0)$ de $13^2 = x^2 + 0y^2$. Do you see what I mean ? Attention, je ne dis surtout pas qu'il y a une erreur (il y a bien 36 solutions dans $\N \times \N$), je dis que je ne comprends pas.

$\bullet$ De mon côté, j'avais pensé à la chose suivante, sans la finaliser. Of course, je vais considérer MA suite $A(n)$ parce qu'elle est multiplicative. Je dis que $A(n)$ peut-être vu comme $A(n) =\#S(n)$ où
$$
S(n) = {\{(x,y) \in \Z \times \Z \mid x^2 + 3y^2 = n\} \over (x,y) \leftrightarrow (-x,-y)}
$$Au dénominateur, il s'agit d'une involution sans point fixe car une fois pour toutes, je suppose $n \ge 1$. Cela a pour effet de diviser par 2 le numérateur. J'utilise $\Z \times \Z$ car je m'ALIGNE sur $A(n)$. Et je me suis dit que, PEUT-ETRE, la multiplication sur $\Z[\sqrt {-3}]$
$$
(x + y \sqrt {-3}) \times (x' + y'\sqrt {-3}) = x'' + y'' \sqrt{-3} \qquad x'' = \cdots, \quad y'' = \cdots
$$aurait la gentillesse de fournir un machin, que je note $\star$, et qui aurait pour effet (peut-on rêver ?)
$$
S(nm) \simeq S(n) \star S(m) \simeq S(n) \times S(m) \qquad n \wedge m = 1
$$Je me comprends un peu près mais ce n'est peut-être pas le cas pour vous.

Kolokoto : quand tu parlais de trouver toutes les solutions, je pense que cela pouvait inclure d'une part numériquement (j'en cause plus loin) et d'autre part de manière organisée/structurée, dans le style de LOU16. De toutes manières, même si $\star$ n'est pas au point, c'est une bonne chose de savoir déterminer numériquement $S(p^v)$ et même $S(p)$ pour $p$ premier. C'est de $S(p)$ dont je vais parler pour $p \equiv 1 \bmod 3$ sinon il est vide. Bémol pour $S(3)$ que je passe sous silence.

$\bullet$ Formes quadratiques normiques. Il faut d'abord faire le point là-dessus car $x^2 + 3y^2$ et $x^2 + xy + y^2$, même combat. Je m'explique via l'inclusion $\Z[2j] = \Z[\sqrt {-3}] \subset \Z[j]$ d'indice 2. La forme norme de $\Z[\sqrt {-3}]$ dans la $\Z$-base $(1, \sqrt {-3})$ et celle de $\Z[j]$ dans la $\Z$-base $(1, -j)$ sont
$$
N(x + y\sqrt {-3}) = (x + y\sqrt {-3})( x - y\sqrt {-3}) = x^2 + 3y^2 \qquad\qquad
N(x - jy) = (x - jy)(x - j^2y) = x^2 + xy + y^2
$$Of course, toute norme de $\Z[\sqrt {-3}]$ est une norme dans $\Z[j]$ (écrire $\sqrt {-3} = 1 + 2j$). Mais ce qui est dingue, et m'a toujours surpris, c'est qu'une norme de $\Z[j]$ est une norme de $\Z[\sqrt {-3}]$. Il me semble en avoir parlé une fois (ou plusieurs) sur le forum mais je n'ai pas retrouvé. Pour la justification voir la fonction ZjNormicPair plus loin qui est commentée.

C'est en ce sens que je disais ``même combat''.

$\bullet$ Ecrire un premier $p \equiv 1 \bmod 3$ sous la forme $x^2 + 3y^2$. On va d'abord l'écrire sous la forme $u^2 + uv + v^2$ (ou $u^2 - uv + v^2$, on va pas chipoter). On va travailler dans $\Z[j]$ qui est euclidien donc principal, ce qui n'est pas le cas de $\Z[\sqrt {-3}]$. On va utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer un pgcd AD-HOC. D'où l'efficacité de la méthode. Je n'explique pas ICI pour l'instant pourquoi ce pgcd donne la solution. J'ai mentionné les temps de calculs

[color=#000000]> // Un premier p = 1 mod 3 de maniere aleatoire
> p := 3*Random(10^70, 10^80)  + 1 ; time while not IsPrime(p) do p := p + 3 ; end while ;
Time: 0.090
> p ;
270383340579254640043194575519010839293897934415755087067221440384422217839141871
[/color]

Cacul d'une racine cubique de l'unité dans $\F_p$ qui existe car $p \equiv 1 \bmod 3$. Au lieu d'utiliser la fonction HasRoot toute faite, on pourrait SOI-MEME en déterminer une (racine cubique de l'unité) de manière efficace.

[color=#000000]> Fp := GF(p) ;
> // r = une racine cubique modulo p
> time ok, r := HasRoot(X^2 + X + 1, Fp) ;
Time: 0.000
> r ;
9958031212163093582747603726068314757583733331614669585836986523068541508093603
> r^3 ;
1
[/color]

Calcul du pgcd AD-HOC dans $\Z[j]$ :

[color=#000000]> r := Z!r ;
> // p | r^2 + r + 1 = (r-j)*(r-j^2) 
> time g := Pgcd(p, r-j) ;
Time: 0.040
> g ;
10394455355938581003892401271023870663946*j + 18957671492370933939614997761608516674795
[/color]

Ci-dessus, le plus IMPORTANT, cela ne se voit pas, c'est que le pgcd ad-hoc $g$ vérifie $\fbox{$p = N(g)$}$. Au sens de la norme de $\Z[j]$ bien entendu. Et cette norme de $\Z[j]$, je vais la transformer en une norme de $\Z[\sqrt {-3}]$ pour obtenir le Graal $p = x^2 + 3y^2$.

[color=#000000]> x,y := Z2jNormicPair(g) ;
> x, y ;
13760443814401643437668797126096581342822 5197227677969290501946200635511935331973
> p eq x^2 + 3*y^2 ;
true
[/color]

Voici la petite fonction très simple qui fait le job. Avec les commentaires avant que je n'ai pas envie de TeXer sur le post.

[color=#000000]// N(u + j*v) = (u + j*v) * (u + j^2*v) = u^2 - uv + v^2 = N(v + j*u)

// z = u + v*j in Z[j]. On veut mettre N(z) sous la forme x^2 + 3y^2, x,y in Z
// On utilise 2j = -1 + \/-3  

// v pair : v=2y, N(z) = N(u + 2j*y) = N(x + \/-3.y) avec  x = u-y
// u pair : u=2y, N(z) = N(v + 2j*y) = N(x + \/-3.y) avec  x = v-y
// Ce qui revient a : u^2 - uv + v^2 = (u - v/2)^2 + 3(v/2)^2 = (v - u/2)^2 + 3(u/2)^2
//                                        x             y           x            y
// u,v impairs : on utilise que u+j*v et j*(u+j*v) ont meme norme
// Mais  j*(u+j*v) = -v + j*(u-v) et cette fois, u-v est pair
// Ou encore : u^2 - uv + v^2 = U^2 - U*V + V^2 avec U=u, V=u-v pair

Z2jNormicPair := function(z)   // z = u + j*v ;
  // Retourne (x,y) in N x N tel que x^2 + 3*y^2 = N(z) = (u + jv)*(u + j^2v) = u^2 - uv + v^2
  u := Z!(z[1]) ;  v := Z!(z[2]) ;
  assert z eq u + v*j ;
  if IsEven(v)   then     y := ExactQuotient(v,2) ;   x := u - y ; 
  elif IsEven(u) then     y := ExactQuotient(u,2) ;   x := v - y ; ;
  else /* u,v impairs */  y := ExactQuotient(u-v,2) ; x := u - y ; 
  end if ;
  assert Norm(z) eq x^2 + 3*y^2 ;
  return Abs(x), Abs(y) ;
end function ;  
[/color]

$\def\ZZ{\Z[\sqrt {-3}]}$Bonjour LOU16 (et les autres)
Evidemment, moi, je ne vais pas dire ``En effet, ce n'est pas très clair'' comme tu l'as dit toi-même sur un point de détail concernant tes affaires. Je crois avoir compris quelque chose chez toi. Une vague ressemblance dans le point 2 ci-dessous concernant mes affaires. As tu une idée pour le point 1. ? Merci.

$\bullet$ 1. Je suis à la recherche d'une preuve directe (et élémentaire tant qu'à faire) du fait que pour $p$ premier, $p \equiv 2 \bmod 3$, alors $v_p(x^2 + 3y^2)$ est pair. Y compris pour $p = 2$.

$\bullet$ 2. Mes histoires de $S(n), \star$, cf mon post précédent. No problemo et même une banalité pour $\{z, -z\} \star \{z', -z'\} = \{zz', -zz'\}$ où $z, z' \in \ZZ$.
En ce qui concerne les solutions de $x^2 + 3y^2 = n$, je ne vais pas jouer la carte $\N \times \N$, ni la carte $\N \times \Z$ ou $\Z \times \N$ mais la carte $\Z \times \Z$ en divisant par 2. En fait, je vais travailler sur $\ZZ$, avec sa norme $N(x + y\sqrt {-3}) = x^2 + 3y^2$. Et modulo l'involution $z \leftrightarrow -z$ sur $\ZZ$.

Ci-dessous, je vais écrire des trucs du genre $S(n) = \{z_1, z_2, \cdots \}$, cela aura la signification :
$$
z_i \in \ZZ, \qquad N(z_i) = n, \qquad \{z_1, z_2, \cdots \} \cap \{-z_1, -z_2, \cdots \} = \emptyset
$$Il faudra penser $S(n) = \{\{z_1,-z_1\} , \{z_2, -z_2\}, \cdots \}$. Je couche les $S(p^v)$ en vérifiant que le cardinal est bien $A(p^v)$, mes $A(n)$ bien entendu.

$\blacktriangleright$ $S(3^v) = \{ \sqrt {-3}^v \}$ de cardinal $A(3^v) = 1$.

$\blacktriangleright$ $S(2^v) = \{ (1+ \sqrt{-3})^{v/2},\ (1-\sqrt{-3})^{v/2}, \ 2^{v/2} \}$ si $v$ pair, $\emptyset$ sinon. De cardinal 3 ou 0 i.e. $A(2^v)$.

$\blacktriangleright$ Pour $p \equiv 1 \bmod 3$. Avec un $z$ tel que $N(z) = p$ :
$$
S(p^v) = \{ z^i \overline z^j \ \mid\ i + j = v\} \qquad \#S(p^v) = v+1 = A(p^v)
$$$\blacktriangleright$ Pour $p \equiv 2 \bmod 3$, $p \ne 2$. $S(p^v) = \{ p^{v/2} \}$ si $v$ pair, $\emptyset$ sinon. De cardinal 1 ou 0.

$\bullet$ 3. Algorithme de Cornacchia pour résoudre $x^2 + dy^2 = m$ lorsque $d \wedge m = 1$. Cornacchia : années 1900. Un preprint (1990) de Morain et Nicolas http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Francois.Morain/Articles/cornac.pdf. Je ne sais pas si cela a été publié. Cohen en parle dans la section 1.5.2 de son ouvrage A Course in Computational Algebraic Number Theory. Je crois me souvenir avoir parcouru le preprint et détecté ``un truc bizarre''. J'aimerais bien en avoir le coeur net.

$\bullet$ 4.Quelques trésors à découvrir ? En fait, il y a 4 anneaux quadratiques imaginaires qui ont la même propriété que $\ZZ$, à savoir non principaux mais tout idéal inversible est principal ou encore toute forme quadratique de discriminant $D$ (le discriminant de l'anneau) est $\text{SL}_2(\Z)$-équivalente à la forme neutre. Je les donne ci-dessous
$$
\begin {array} {llll}
\ZZ = \Z[2j], \quad & D = f^2 \times -3 = -12 (f=2), \quad & (1,0,3) = x^2 + 3y^2 \\
\Z[2i], \quad & D = f^2 \times -4 = -16 (f=2), \quad & (1,0,4) = x^2 + 4y^2 \\
\Z[3j], \quad & D = f^2 \times -3 = -27 (f=3), \quad & (1,1,7) = x^2 + xy + 7y^2 \\
\Z[\sqrt {-7}], \quad&D = f^2 \times -7 = -28 (f=2), \quad & (1,0,7) = x^2 + 7y^2 \\
\end {array}
$$Play again ! Et de quels trésors je parle ? Par exemple dans $M_1(\Gamma_1(12), \chi_{-12})$, $M_1(\Gamma_1(27), \chi_{-27})$ ..etc.. J'en ai trouvé quelques uns.

LOU16
Mais bien sûr ! Je pensais que cela allait être compliqué. Bien joué. Merci. Bien entendu, cette histoire de parité de valuation était implicite dans nos affaires mais je pense que c'est mieux de le dire.

Kolotoko, Tu vas trouver que j'exagère mais je continue encore un peu. Pourquoi ? Parce ce que, pour moi, il y a eu des non-dits, et que j'ai absolument besoin d'avoir les idées claires.

$\bullet$ Un exemple de non-dit. C'est capital, à mon avis, de l'énoncer. Soit $p$ un premier $\ne 2,3$. Alors il y a équivalence entre :

a. $p \equiv 1 \bmod 3$
b. -3 est un carré modulo $p$
c. $X^2 + X +1$ admet une racine modulo $p$
d. $p$ est de la forme $x^2 + 3y^2$.

Comment ne pas énoncer FRANCHEMENT ce résultat dans un fil consacré à $n = x^2 + 3y^2$ ? Attention : les 3 premières propriétés sont d'une nature MODULAIRE et c'est assez facile de montrer leurs équivalences. A noter que le discriminant de $X^2 + X + 1$ est $-3$, ce qui assure un lien.

Par contre, le point d. est d'une autre nature ! Cela découle par exemple du fait que $\Z[j]$ est principal et de l'adéquation normique entre $\Z[j]$ et $\Z[2j] = \Z[\sqrt {-3}]$. Je l'ai utilisé à DEUX reprises in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2104524,2108210#msg-2108210 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2104524,2109164#msg-2109164

$\bullet$ Si on change $3$ en $5$, il continue à y avoir des ANALOGUES des 3 premiers points mais pas du dernier. Le point b. va devenir $-5$ est un carré modulo $p$ i.e. $p \equiv 1,3,7,9 \bmod 20$. Prenons alors $p = 7$. C'est bien vrai que $-5$ est un carré modulo 7 : c'est le carré de 3.
Est ce que 7 est de la forme $x^2 + 5y^2$ ? NON. Il est de la forme $2x^2 + 2xy + 3y^2$ avec $x=y=1$. Et que vient faire cette forme quadratique ? Du fait qu'il y a essentiellement 2 formes quadratiques de discriminant $-20$ (le discriminant de $ax^2 + bxy + cy^2$ est le brave $b^2 - 4ac$) :
$$
x^2 + 5y^2 = (1, 0, 5), \qquad\qquad 2x^2 + 2xy + 3y^2 = (2,2,3)
$$ Bilan : veiller au grain si on veut avoir les idées claires.

$\bullet$ Cornacchia. Rarement vu un algorithme aussi simple à mettre en oeuvre et difficile à prouver. Référence http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Francois.Morain/Articles/cornac.pdf. Je l'illustre ci-dessous. Suite ad-hoc de divisions euclidiennes.

[color=#000000]// Contexte : d /\ n = 1, r racine carree de -d modulo n
// Divisions euclidiennes en partant de (n, r)
//  n   r
//  |   |
//  v   v
// r0 = r1*q1 + e2
// r1 = r2*q2 + r3
//  ....etc....
// La suite r0, r1, r2 ... est decroissante et se termine par 1 (algorithme d'Euclide + le fait que n /\ r = 1)
// Mais ici on stoppe quand r_k^2 < n <= r_{k-1}^2
// C.a.d que l'on "attend" r_k^2 < n
//
// Alors : SI d | n - r1^2 et SI (n - r1^2)/d est un carre, on tient une solution de x^2 + dy^2 = n via
// x = r1  et   y  = Sqrt((n - r1^2)/d)
[/color]

Je le fais tourner pour $n = 91$, $d = 3$. Détermination de tous les $r \in \Z/n\Z$ tels que $r^2 = -d$ dans $\Z/n\Z$. Il y en a 4 : si $r$ convient, alors $-r = n-r$ aussi. Je vais prendre le premier qui me vient sous la main i.e. $r = 19$.

[color=#000000]> d := 3 ;
> n := 7*13 ;
> n ;
91
> Zn := ResidueClassRing(n) ; // Z/nZ
> R := [Z| r : r in Zn | r^2 eq -d];
> R ;
[ 19, 33, 58, 72 ]
> r := R[1] ;
> r ;
19
> r0 := n ; r1 := r ;
> while true do
>   printf "r0 =%3o    r1 = %o\n", r0, r1 ;
>   // "attendre" que r_k^2 (=_ici r1^2) passe strictement en dessous de n
>   if r1^2 lt n then break ; end if ;
>   r0_mod_r1 := r0 mod r1 ;
>   r0 := r1 ;   r1 := r0_mod_r1 ;
> end while ;

r0 = 91    r1 = 19
r0 = 19    r1 = 15
r0 = 15    r1 = 4
[/color]

J'ai fait afficher la suite des divisions euclidiennes en stoppant là où on a dit. Une fois sorti de la boucle, on réalise ce qui est mentionné dans le commentaire un peu plus haut.

[color=#000000]> x := r1 ;
> is_divisible_by, y2 := IsDivisibleBy(n - x^2, d) ;
> is_divisible_by ;
true
> y2 ;
25
> is_square, y := IsSquare(y2) ;
> is_square ;
true
> y ;
5
> x, y, d, n, x^2 + d*y^2 eq n ;
4 5 3 91 true
[/color]

Utilisation d'autres $r \in \Z/91\Z$ tels que $r^2 \equiv -3 \bmod 91$. On obtient une autre solution $8^2 + 3 \times 3^2 = 91$.

[color=#000000]> CornacchiaInternal(d,n, R[2]) ;
true 8 3
> CornacchiaInternal(d,n, R[3]) ;
true 8 3
> CornacchiaInternal(d,n, R[4]) ;
true 4 5
[/color]

Bonjour Claude,

Afin de troubler ce silence pesant, je vais donc faire un peu de bruit en proposant une preuve détaillée et pas trop compliquée de la validité de l'algorithme de Cornacchia, bricolée à la lueur de tout ce que j'ai pu lire ici ou là.

$\text{Soient}\:\:m,d,a \in \N^*, \:\: d\leqslant m,\:\:\:m\wedge d =1,\quad a^2 \equiv -d \mod m,\quad a<\dfrac m2.
\text{Soit}\:\: (r_0 , r_1, r_2,\dots r_n, r_{n+1} )\: \text{la suite des restes} \\ \text{de la division euclidienne de}\: m\:\text{par}\: a.\: \:(r_0 = m, r_1=a, r_n =1 ,r_{n+1} =0.) \quad \text{et}\: k\:\:\text{tel que}\: r_k\leqslant \sqrt m < r_{k-1}.\:\:\text{Alors:}$
$$\text{Si} \: \exists (x_0,y_0) \in \Z^2\:\text{tel que} \:\: x_0^2+dy_0^2 =m, \:\:x_0\wedge y_0 =1,\:\:x_0\equiv -ay_0 \mod m,\:\: \text{alors}\:\:\exists t\in \N,\:\text{tel que}\:\:r_k^2 + dt^2 = m.$$
On a: $\forall i \in [\![1;n]\!], \:\: \boxed{r_{i+1} =r_{i-1} - q_ir_i}, \:\:\:q_i\in \N^*,\:\: 0\leqslant r_{i+1}<r_i.$
$\forall i \in [\![0;n+1]\!],\:$on définit $t_i$ par $\:\:t_0 =0,\:t_1=1,\: \boxed{ \forall i \in [\![1;n]\!],\:\:t_{i+1 }=q_it_i + t_{i-1}.}$
Une ligne dans le message initial a ici été supprimée à la suite de la remarque judicieuse de Claude Quitté

On obtient facilement par récurrence:$\quad\forall i \in [\![0;n+1]\!],\:\: r_i\equiv (-1)^{i+1}t_ia \mod m\quad $ puis $r_i^2 \equiv a^2t_i^2 \mod m, \:\:$ d'où l'on déduit:
$$\forall i \in [\![0;n+1]\!],\:\:r_i^2+ dt_i^2\equiv 0 \mod m.\quad(\bigstar)$$
On introduit enfin: $\forall i\in [\![0;n+1]\!], \quad \rm e_i = ((-1)^ir_i\:, \:t_i) \in \Z^2, \quad\:\:\:\mathcal L=\Z\rm e_0\oplus \Z\rm e_1=\Z\rm e_i \oplus \Z\rm e_{i+1}.\qquad( \rm e_{i+1} = q_i\rm e_i + \rm e_{i-1})\:\: $ et on prouve:
$$\forall i\in [\![0;n]\!],\:\: \forall (u;v) \in \mathcal L\setminus \{(0,0)\}, \:\: |u| <r_{i}\implies |v|\geqslant t_{i+1}.\quad (\bigstar\bigstar)$$
C'est vrai pour $i=0.\qquad$ Soient $i>0\: $ et $\: (u;v) \in \mathcal L\setminus \{(0,0)\}, \:$ tel que $\:|u|<r_i. \quad\exists c,d \in \Z\:\:$ tels que $\:\:d>0,\:\: (u,v) =c\rm e_{i-1}+ d\rm e_i,$
$|-cr_{i-1}+dr_i| <r_i,\quad |v|= |ct_{i-1} + dt_i|.\quad $ Alors:
$c>0,\quad \left |\dfrac {cr_{i-1}}{r_i} -d\right|<1, \quad d\geqslant \Big \lfloor \dfrac {cr_{i-1}}{r_i}\Big\rfloor \geqslant \Big \lfloor \dfrac {r_{i-1}}{r_i}\Big\rfloor =q_i.\quad$ On déduit; $\:\:|v|=ct_{i-1} +dt_i \geqslant t_{i-1} + q_it_i =t_{i+1}\square$

On peut choisir $(x_0,y_0)$ tel que $y_0>0.\:\:\:\:$Alors $\:\:(x_0,y_0)=l \rm e_0+y_0 \rm e_1, \quad $ $ l $ $\in \Z, \quad (x_0,y_0)\in \mathcal L\setminus\{(0;0)\}.$
$|x_0|\leqslant \sqrt m <r_{k-1}.\:\: $ On peut appliquer $(\bigstar\bigstar): y_0 \geqslant t_k.\qquad 0<r_k^2+ dt_k^2 \leqslant m +dy_0^2<2m.$
$ (\bigstar)\:$ dit d'autre part que $\: r_k^2+dt_k^2 \equiv 0 \mod m.\qquad $ On obtient bien : $r_k^2+dt_k^2=m\:\square$

Remarque: il n'est pas difficile de prouver que si $r_k^2 +dt_k^2 =m $ , alors $(r_k\:,\:t_k)$ est la seule solution dans $\N^2$ de $x^2+dy^2 = m,\: \:x\wedge y =1, \:\:x\equiv \pm ay \mod m.$

Re
Merci, j'ai en effet oublié $d\wedge m =1.$ Je corrige.
En fait non, j'avais bien écrit $m\wedge d = 1.$

Re
Pour les indices, j'avais fait une mauvaise manipulation et je l'ai corrigée. Les suites sont bien assez longues comme ça, inutile de les prolonger:
$r_i$ et $t_i$ sont définis entre $0$ et $n+1\:$, et $\:q_i$ entre $1$ et $n$.

Je reprends la récurrence qui mérite d'être détaillée. (j'inverse les $r_i\mod m$ et non les $t_i$).
$\forall i \in [\![1;n]\!], \:\: r_i \wedge m = 1.\:\:$ çà c'est faux
Soit $0\leqslant i \leqslant n-1.\:\:\:\exists s_i\in \Z $ tel que $\: s_ir_{i+1}\equiv r_i \mod m.\:\:\qquad$ Alors $\: t_i \equiv -s_i t_{i+1} \mod m.$

$"r_i^2 +dt_i^2 \equiv 0 \mod m"$ est vraie pour $i=0,1,n+1 \quad( t_{n+1} =m.)$

On prouve $\forall i \in[\![0;n]\!],\:\:r_i^2 +dt_i^2 \equiv 0 \mod m.\quad$ Soit $ \:\: i \in [\!|1;n-1]\!].$
$\qquad\begin{array}{ccl} r_{i+1}^2 +dt_{i+1}^2 &\equiv &(r_{i-1} -q_i r_i)^2+d(t_{i-1} +q_i t_i)^2 \equiv (r_{i-1}^2+ dt_{i-1}^2) +q_i^2 (r_i^2+ dt_i^2) -2q_i(r_{i-1}r_i -dt_{i-1}t_i)\\ & \equiv& (r_{i-1}^2+ dt_{i-1}^2) +q_i^2 (r_i^2+ dt_i^2)-2q_is_{i-1} (r_i^2 + dt_i^2)\overset {\text{hyp. de rec.}}{\equiv} 0 \mod m \:\square\end{array} $

Re,
Merci pour ta lecture attentive et la vigilance de tes esclaves numériques. "Personne n'est à l'abri d'une erreur". Surtout pas moi.

Aucune raison en effet pour que $r_i\wedge m = 1$ (J'ai dû confondre $r_i \wedge r_{i+1}$ et $r_i\wedge m$.)

Je voulais à tout prix raccourcir la preuve de $r_i^2 +dt_i^2 \equiv 0 \mod m.$

La relation $t_{i+1} = t_{i-1}+q_it_i $ vaut pour $1\leqslant i\leqslant n\quad $ (je voulais dire que $t_i$ était défini pour $1\leqslant i\leqslant n+1)$

J'ai modifié le message en espérant que maintenant tout est correct.

$\def\mat#1#2{\left[ \matrix {#1\cr#2\cr} \right]}\def\truc{\text{truc}}\def\machin{\text{machin}}$Bonjour LOU16

1. Au lieu de commencer par pinailler comme hier (histoires d'indices), je commence par ce qui est positif. J'ai vérifié ton post, surtout la dernière passe, relativement subtile, avec le réseau $\mathcal L$. Je dis bravo et je pense pouvoir dire que, maintenant, ma référence sur Cornacchia, est ton post. Je n'ai plus envie de regarder Basilla (je n'aime pas son indexation) et encore moins, soyons discrets, Mor-Nic (je le dis maintenant, une erreur dès la deuxième page, une certaine (?) complexité, manque de précisions ...etc..). J'attache ce qu'en dit Cohen (mon dictionnaire dit painful = laborieux-pénible).

Précision : je viens de constater sur cet extrait une autre référence pour Cornacchia : H.W. Lenstra, référence qui ne figurait pas dans l'édition initiale dont je dispose. La référence [Mor-Nic] pointe sur le papier de Mor-Nic avec la mention to appear (il est un peu près clair qu'il ne sera pas publié).

Le papier de Schoof en question (qui contient le traitement de Cornacchia dû à Lenstra) est celui-ci http://www.numdam.org/article/JTNB_1995__7_1_219_0.pdf.

Mais tu restes ma référence !

2. Je pense qu'il est quand même utile de dire d'où sort la suite des $(t_i)_i$. Désignons par $(u_i)$, $(v_i)$ les 2 suites des coefficients de Bezout indexées à partir de 0, CEUX déterminés par l'algorithme classique (cf attachement d'hier soir) et par $a_i / b_i$ la suite des convergents (réduites) de $(r_0, r_1) = (a,b)$, cf le deuxième attachement, indexée à partir de l'indice $-1$
$$
\mat{a_{-1}}{b_{-1}} = \mat{0}{1}, \qquad
\mat{a_{0}}{b_{0}} = \mat{1}{0}, \qquad
\mat{a_{1}}{b_{1}} = \mat{q_1}{1}, \qquad
\mat{a_{2}}{b_{2}} = \mat{q_1q_2 + 1}{q_2}, \qquad \cdots
$$Alors
$$
t_i = a_{i-1} = (-1)^{i+1} v_i, \qquad \qquad b_{i-1} = (-1)^i u_i
$$C'est un peu beaucoup pour moi (j'ai fait un post très très mauvais, celui où j'ai parlé des convergents, avec des notations pourries).

3. Je vais avoir des questions à te poser. Je commence par les plus simples : où sert l'hypothèse $a < m/2$ ? Dans ma programmation, je me contente de $1 \le a \le m-1$.
Autre chose (ce n'est pas une question) : je ne suis pas clair sur l'hypothèse $x_0 \wedge y_0 = 1$. Je reviendrais dessus.

Il y aura d'autres questions.

4. Le pinailleur que je suis reviens au galop. Dans la ligne 7 en partant du haut : c'est $i \in [0..n]$ au lieu de $i \in [0..n+1]$. Dans la définition de $\mathcal L$, il y a une virgule qui traîne dans $\Z e_i \oplus \Z e_{i+1}$. A la fin de la preuve subtile de $(\star\star)$, il y a une barre de valeur absolue en trop : c'est $|v| \ge t_{i-1} + q_i t_i$ (ou alors mettre les deux barres de valeur absolue mais de toutes manières, il faut s'en débarasser). De temps en temps, les habitants de $\mathcal L$, tu utilises $(\truc, \machin)$ et d'autres fois $(\truc ; \machin)$.

LOU16, suite
Je vais essayer de t'expliquer le souci que j'ai. Je ne sais pas si tu marcheras dans la combine car cela touche à la validité d'un algorithme. Lequel ? Celui qui est ci-dessous. Si tu n'as pas envie de te casser les méninges, laisse béton. Après tout, je suis vraiment satisfait de ta solution : c'est clair, net, simple avec une clause précise.

Donc on dispose d'un algorithme qui prend en données un triplet $(d, m, a)$ tel que $d \wedge m = 1$ et $a^2 \equiv -d \bmod m$. Je ne vais pas aller vérifier si TA clause de validité s'applique car celle-ci nécessite de trouver une solution $(x_0, y_0)$ telle que ...etc.. Et justement, je suis en train d'en chercher une (solution). De manière efficace grâce à l'algorithme d'Euclide (penser au fait que $m$ peut-être très grand).

Alors je fais quoi ? Je laisse faire la nature en ``croisant les doigts''. A la sortie de la boucle, je teste si $d$ divise $m - r_k^2$ : si ce n'est pas le cas, je décrète que l'algorithme a échoué et je fais le nécessaire.

Et si $d \mid m - r_k^2$ ? C'est vraiment là que je croise les doigts. Est ce que tu comprends le code à partir de ICI ?

Et alors ? Eh bien, ce qui vient après ICI n'a jamais échoué.

Comment je fais pour réaliser des tests ? Je dire $\delta, m \in \N^*$ au hasard premiers entre eux. Ca, c'est facile. Je pose $d = (-\delta^2) \bmod m$ si bien que je suis sûr que $-d$ est un carré modulo $m$. Enfin, je fais déterminer l'ensemble $A$ des $a \in \Z/m\Z$ tels que $a^2 = -d \bmod m$. Et je sollicite l'algorithme en tous les $(d, m, a)$, $a \in A$. J'ai réalisé des milliers de tests (par exemple $10^5$, ce qui nécessite environ 60 secondes).

Est ce un peu près clair ?

[color=#000000]CornacchiaWithGivenSquareRoot := function(d, m, a)
  // d /\ m = 1  et  a^2 = -d modulo m
  // Sous certaines conditions (cf LOU16), retourne <true,x,y>  avec
  // (x,y) solution de x^2 + d*y^2 = m  ET   x /\ y = 1   ET   x + a*y = 0 modulo m
  // Mais je ne vais pas verifier ces conditions qui portent sur UNE solution (x0, y0) telle que ..
  // Je vais laisser faire la nature
  // Et en cas d'intemperie, la fonction retourne <false,undefined,undefined>  (_ == undefined)

  assert (Gcd(d,m) eq 1)  and  ((a^2 + d) mod m eq 0) ;

  r0 := m ; r1 := a ;
  while r1^2 ge m do  // "attendre" que r_k^2 (ici r1^2) passe strictement en dessous de n
    r0_mod_r1 := r0 mod r1 ;
    r0 := r1 ;   r1 := r0_mod_r1 ;
  end while ;

  // Est ce que d'une part d | m - r_k^2 et d'autre part le quotient (m - r_k^2)/d est un carre ???
  x := r1 ;
  is_divisible_by, y2 := IsDivisibleBy(m - x^2, d) ;
  if not is_divisible_by then return false, _, _ ; end if ;
  is_square, y := IsSquare(y2) ;    [color=#FF0000]*** ICI ***[/color][color=#990000]*** ICI *** [/color]
  // Attention : je cherche les ennuis !!
  assert is_square ;         // Hum, je n'en sais rien
  //if not is_square then return false, _, _ ; end if ;
  assert x^2 + d*y^2 eq m ;  // of course
  assert Gcd(x,y) eq 1 ;     // Why ?
  return true, x, y ;
end function ;
[/color]

Mais dans MON algorithme (celui que j'ai fourni), il n'y a pas de $t_k$. Tu n'en vois pas, n'est ce pas ?

Et donc, dans CET algorithme, je ne teste pas si $r_k^2 + dt_k^2 = m$. Vu que je n'ai pas $t_k$ sous la main.

Je teste juste si $d \mid m - r_k^2$. Et si oui, je dis BINGO (alors que je n'en sais rien).