Système complet de congruences
dans Shtam
Bonjour
Soit $S$ un ensemble de paires $(a,b)$ avec $0\le b<a$. On dira que $S$ est complet si tout nombre est de la forme $ak+b$ (congru à $b$ modulo $a$) pour une certaine paire $(a,b)$ de $S$ et un nombre entier $k$.
Bref, $S_2=\{(2,0),(2,1)\}$ et plus généralement les ensembles $S_a=\{(a,b): 0\le b<a\}$ sont complets.
Mais...en existe-t-il d'autres ? Du genre $\{(2,0),(3,1),(24,7),...\}$ c'est à dire avec des bases $a$ toutes différentes.
Bien sûr, on attend des ensembles finis, ça va sans dire.
Il me semble qu'Erdös avait travaillé là-dessus...non ?
Merci.
Soit $S$ un ensemble de paires $(a,b)$ avec $0\le b<a$. On dira que $S$ est complet si tout nombre est de la forme $ak+b$ (congru à $b$ modulo $a$) pour une certaine paire $(a,b)$ de $S$ et un nombre entier $k$.
Bref, $S_2=\{(2,0),(2,1)\}$ et plus généralement les ensembles $S_a=\{(a,b): 0\le b<a\}$ sont complets.
Mais...en existe-t-il d'autres ? Du genre $\{(2,0),(3,1),(24,7),...\}$ c'est à dire avec des bases $a$ toutes différentes.
Bien sûr, on attend des ensembles finis, ça va sans dire.
Il me semble qu'Erdös avait travaillé là-dessus...non ?
Merci.
Réponses
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Je ne sais pas si Erdös a travaillé dessus mais il en existe d'autres, par exemple :
$S=\{(2,1),(3,1),(4,0),(6,0),(12,2)\}$. -
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Dans ce cas, il existe au moins un entier compatible avec tous les couples (a,b). Ses 2 voisins immédiats échappent alors à tous ces couples.
-
Merci beaucoup.
Je vois avec plaisir que vous maitrisez bien les "congruences chinoises".
Permettez que je vous soumette une idée que je n'ai pas réussi à mener à terme et qui demande certainement une telle maitrise.
Voici le pdf
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Bonjour!
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