Dans la bonne fourchette

Bonjour
Soient $a$, $b$, $c$ trois entiers naturels premiers entre eux deux à deux et tels que l'on n'ait pas l'égalité suivante :

(le plus grand des trois nombres) $=$ (un multiple positif du plus petit) $+$ (un multiple positif du troisième).

J'aimerais bien savoir s'il est possible de démontrer que les solutions de l'équation diophantienne $ax+by=c$ peuvent toujours être ramenées à la forme :
$$x=-bn-p \qquad \text{et} \qquad y=an+q,
$$ où $n\in \mathbb{Z}$ et $0<p<b$ et $0<q<a$.
Merci d'avance.