Suite : somme des diviseurs
dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $n$ un entier strictement positif, on note $s(n)$ la somme des diviseurs de $n$ différents de $1$ et $n$. Par exemple, $s(6)=2+3=5$, $s(5)=0$.
Soit $u_0$ un entier strictement positif, on définit pour tout $n$, $u_{n+1}=s(u_n)$ si $u_n>0$, et sinon on s'arrête. Est-ce qu'il existe un entier $u_0>0$ tel que la suite $(u_n)$ tende vers l'infini ? Est-ce qu'il existe un $u_0$ tel que la suite ne s'arrête pas et soit périodique à partir d'un certain rang ?
Merci d'avance.
Soit $n$ un entier strictement positif, on note $s(n)$ la somme des diviseurs de $n$ différents de $1$ et $n$. Par exemple, $s(6)=2+3=5$, $s(5)=0$.
Soit $u_0$ un entier strictement positif, on définit pour tout $n$, $u_{n+1}=s(u_n)$ si $u_n>0$, et sinon on s'arrête. Est-ce qu'il existe un entier $u_0>0$ tel que la suite $(u_n)$ tende vers l'infini ? Est-ce qu'il existe un $u_0$ tel que la suite ne s'arrête pas et soit périodique à partir d'un certain rang ?
Merci d'avance.
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Réponses
Mini-contribution : un cycle $(48, 75)$ J'ai bon ? Je gagne quelque chose ?
On a $s(48)=75$ et $s(75)=48$, donc il existe une suite périodique $u_{n+1}=s(u_n)$.
Edit : Pardon pour la redondance. Pour me rattraper je donne deux autres cycles : $(140,195)$ et $(1575,1648)$.
Une première réponse pour la 2ème question : les nombres amicaux (ou nombres amiables) donnent des suites de période 2.
Je me suis permis d'emprunter ton nom pour une fonction. Play again La liste ci-dessus est une liste de $u_0$ pour lesquels l'itération de $s$ ne conduit pas à $0$. Les voici ces itérés Tu veux saturer le serveur qui héberge le forum, c'est ça ?
On note $S(n)$ la somme des diviseurs de $n$, y compris $1$ et $n.$
On a $s(n)=S(n)-1-n.$
L’équation $s(n)=n$ donne $S(n)=1+2 n$ qui est impair.
Un théorème sur le net indique qu’alors $n$ est un carré ou le double d’un carré.
Pas trop dur à démontrer lorsqu'on sait que la fonction $S$ est multiplicative...
Bonne journée,
e.v.