Suite : somme des diviseurs

marco · October 2020

Bonjour,

Soit $n$ un entier strictement positif, on note $s(n)$ la somme des diviseurs de $n$ différents de $1$ et $n$. Par exemple, $s(6)=2+3=5$, $s(5)=0$.
Soit $u_0$ un entier strictement positif, on définit pour tout $n$, $u_{n+1}=s(u_n)$ si $u_n>0$, et sinon on s'arrête. Est-ce qu'il existe un entier $u_0>0$ tel que la suite $(u_n)$ tende vers l'infini ? Est-ce qu'il existe un $u_0$ tel que la suite ne s'arrête pas et soit périodique à partir d'un certain rang ?

Merci d'avance.

claude quitté · October 2020

Salut Marco

Mini-contribution : un cycle $(48, 75)$

[color=#000000]> u0 := 48 ;       
> Divisors(u0) ;
[ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 ]
> u1 := s(u0) ;
> u1 ;
75
> Divisors(u1) ;  
[ 1, 3, 5, 15, 25, 75 ]
> s(u1) ;
48
[/color]

J'ai bon ? Je gagne quelque chose ?

Calli · October 2020

Bonsoir,
On a $s(48)=75$ et $s(75)=48$, donc il existe une suite périodique $u_{n+1}=s(u_n)$.

Edit : Pardon pour la redondance. Pour me rattraper je donne deux autres cycles : $(140,195)$ et $(1575,1648)$.

lourrran · October 2020

Bonjour,
Une première réponse pour la 2ème question : les nombres amicaux (ou nombres amiables) donnent des suites de période 2.

claude quitté · October 2020

Marco,

Je me suis permis d'emprunter ton nom pour une fonction. Play again

[color=#000000]time for u0 := 2 to 10^3 do                     
   Mu0 := Marco(u0) ;
   if Mu0[#Mu0] ne 0 then Append(~C, u0) ; end if ;
end for ;
Time: 0.050
> C ;
[ 48, 75, 92, 140, 146, 176, 195, 215, 255, 267, 287, 312, 332, 369, 386, 407, 
411, 519, 527, 551, 627, 734, 744, 818, 972, 973, 984, 48, 75, 92, 140, 146, 
176, 195, 215, 255, 267, 287, 312, 332, 369, 386, 407, 411, 519, 527, 551, 627, 
734, 744, 818, 972, 973, 984 ]
[/color]

La liste ci-dessus est une liste de $u_0$ pour lesquels l'itération de $s$ ne conduit pas à $0$. Les voici ces itérés

[color=#000000][ 48, 75 ]
[ 75, 48 ]
[ 92, 75, 48 ]
[ 140, 195 ]
[ 146, 75, 48 ]
[ 176, 195, 140 ]
[ 195, 140 ]
[ 215, 48, 75 ]
[ 255, 176, 195, 140 ]
[ 267, 92, 75, 48 ]
[ 287, 48, 75 ]
[ 312, 527, 48, 75 ]
[ 332, 255, 176, 195, 140 ]
[ 369, 176, 195, 140 ]
[ 386, 195, 140 ]
[ 407, 48, 75 ]
[ 411, 140, 195 ]
[ 519, 176, 195, 140 ]
[ 527, 48, 75 ]
[ 551, 48, 75 ]
[ 627, 332, 255, 176, 195, 140 ]
[ 734, 369, 176, 195, 140 ]
[ 744, 1175, 312, 527, 48, 75 ]
[ 818, 411, 140, 195 ]
[ 972, 1575, 1648 ]
[ 973, 146, 75, 48 ]
[ 984, 1535, 312, 527, 48, 75 ]
[ 48, 75 ]
[ 75, 48 ]
[ 92, 75, 48 ]
[ 140, 195 ]
[ 146, 75, 48 ]
[ 176, 195, 140 ]
[ 195, 140 ]
[ 215, 48, 75 ]
[ 255, 176, 195, 140 ]
[ 267, 92, 75, 48 ]
[ 287, 48, 75 ]
[ 312, 527, 48, 75 ]
[ 332, 255, 176, 195, 140 ]
[ 369, 176, 195, 140 ]
[ 386, 195, 140 ]
[ 407, 48, 75 ]
[ 411, 140, 195 ]
[ 519, 176, 195, 140 ]
[ 527, 48, 75 ]
[ 551, 48, 75 ]
[ 627, 332, 255, 176, 195, 140 ]
[ 734, 369, 176, 195, 140 ]
[ 744, 1175, 312, 527, 48, 75 ]
[ 818, 411, 140, 195 ]
[ 972, 1575, 1648 ]
[ 973, 146, 75, 48 ]
[ 984, 1535, 312, 527, 48, 75 ]
[/color]

Tu veux saturer le serveur qui héberge le forum, c'est ça ?

marco · October 2020

Merci pour les réponses ! Est-ce qu'il existe des $n>0$ tels que $s(n)=n$ ?

YvesM · October 2020

Bonjour,

On note $S(n)$ la somme des diviseurs de $n$, y compris $1$ et $n.$

On a $s(n)=S(n)-1-n.$

L’équation $s(n)=n$ donne $S(n)=1+2 n$ qui est impair.

Un théorème sur le net indique qu’alors $n$ est un carré ou le double d’un carré.

ev · October 2020

Yves a écrit:

Un théorème sur le net indique qu’alors n est un carré ou le double d’un carré.

Pas trop dur à démontrer lorsqu'on sait que la fonction $S$ est multiplicative...

Bonne journée,

e.v.

marco · October 2020

Bien vu ! Merci YvesM et Ev.

marco · October 2020

En regardant les exemples donnés par Claude, et en faisant des essais par ordinateur, il semble que la seule période possible soit $2$ pour la suite $(u_n)$ si elle ne s'arrête pas sur $0$.

Suite : somme des diviseurs

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