Parallélogramme entier

pg69
pg69
dans Arithmétique
Bonjour

existe-t-il un parallélogramme dont les mesures des côtés ET des diagonales sont tous des entiers naturels ?

J'ai le sentiment que non (du moins, j'ai cherché et n'en ai point trouvé...) mais comment le prouver ?

Merci.

Réponses

  • pg69
    pg69
    Je précise : parallélogramme "non aplati" :-)
  • gai requin
    gai requin
    Un rectangle de côtés $3$ et $4$. :-D
  • pg69
    pg69
    re-re-précision : un parallélogamme non rectangle ! (:P)
  • zephir
    zephir
    Un losange côté 5 diagonales 6 et 8 ?
  • pg69
    pg69
    rhooo.... non.... trop trivial ! ;-)
    je recherche un parallélogramme qui ne soit ni un rectangle ni un losange.

    En fait, je cherche un quadruplet d'entiers $(L, \ell, D, d)$ distincts tels que $2(L^2 + \ell^2) = D^2 + d^2$. Bien sûr, j'en trouve mais à chaque fois je tombe sur la trivialité $D=L+\ell$ et $d=L-\ell$ (ce qui donne un plg aplati...)
  • pg69
    pg69
    J'ai le sentiment qu'au delà des cas trivaux (rectangle, losange, plg aplati), il n'est pas possible que ces 4 grandeurs soient des entiers. Si trois en sont, le quatrième est alors irrationnel. Mais je n'arrive pas à le prouver.
  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Si je n'ai pas fait d'erreur...
    De plus, l'une des hauteurs ainsi que le triangle rectangle "caché" ont des mesures entières.
    Reste à trouver si l'on peut avoir la seconde hauteur entière...


    Cordialement

    Dom111060
  • pappus
    pappus
    Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
    $a=39$, $b=25$ pour les côtés
    $d=34$, $d'=56$ pour les diagonales.
    Exercice: calculer l'aire
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Math Coss
    Math Coss
    Voici je crois la plus petite solution « non dégénérée » : \[2\times(7^2+4^2)=9^2+7^2.\]Et voici en principe tous les quadruplets $(L,\ell,D,d)$ avec $d< D\le20$ et $\ell< L$ : 
    (7, 4, 9, 7)
(8, 1, 11, 3)
(7, 6, 11, 7)
(9, 2, 13, 1)
(10, 5, 13, 9)
(9, 8, 13, 11)
(9, 7, 14, 8)
(11, 7, 14, 12)
(11, 2, 15, 5)
(11, 3, 16, 2)
(12, 1, 17, 1)
(11, 8, 17, 9)
(13, 6, 17, 11)
(13, 1, 18, 4)
(14, 8, 18, 14)
(13, 11, 18, 16)
(13, 4, 19, 3)
(14, 3, 19, 7)
(11, 10, 19, 9)
(12, 11, 19, 13)
(15, 10, 19, 17)
(17, 6, 19, 17)
(13, 9, 20, 10)
  • Math Coss
    Math Coss
    Voici les quadruplets à la pappus avec $D=56$. 
    (39, 7, 56, 2)
(35, 19, 56, 6)
(38, 14, 56, 12)
(41, 7, 56, 18)
(42, 2, 56, 20)
(37, 21, 56, 22)
(36, 28, 56, 32)
(39, 25, 56, 34)
(43, 21, 56, 38)
(49, 15, 56, 46)
(44, 28, 56, 48)
(42, 34, 56, 52)
(49, 25, 56, 54)
    et d'autres à la Dom avec $L=56$. 
    (56, 19, 63, 55),
(56, 31, 65, 63),
(56, 6, 70, 38),
(56, 37, 71, 63),
(56, 32, 72, 56),
(56, 3, 73, 31),
(56, 27, 73, 49),
(56, 22, 74, 42),
(56, 17, 75, 35),
(56, 12, 76, 28),
(56, 3, 77, 19),
(56, 7, 77, 21),
(56, 29, 77, 45),
(56, 47, 77, 69),
(56, 2, 78, 14),
(56, 34, 78, 50)
  • pappus
    pappus
    Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
    Un ptit dernier avant de partir (au dodo)?.
    $a=2300449$, $b=1413409$, $d=891458$, $d'=3712800$, $S=159789614880$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Ce serait mieux placé dans le forum d'arithmétique que dans celui de géométrie!!
  • gai requin
    gai requin
    Bonne nuit pappus,

    En effet, $4S^2=(dd')^2-(a^2-b^2)^2$.
  • pg69
    pg69
    Merci à vous tous pour vos contributions et pour avoir infirmé ma fausse conjecture !
    C'est très chouette...
    Vous avez trouvé ces solutions via un programme informatique visiblement ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Le problème est le même pour des longueurs entières ou rationnelles, puisque l'équation est homogène.
    Il a un riche passé, dont on peut prendre connaissance dans :
    Leonard Eugene Dickson, History of the theory of numbers, Volume II, Diophantine Analysis, pp. 205-207.
    Dans cette histoire on trouve d'abord Bachet de Méziriac dans son Diophanti Alexandrini Arithmeticorum (1621) et ensuite de nombreux mathématiciens, notamment Euler en 1782 : https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1753&context=euler-works
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Ludwig
    Ludwig
    Un pot de yaourt est de forme cylindrique.
    On cherche un pot dont le rayon, le périmètre de sa base et sa hauteur sont des nombres entiers.
    Autrement dit, existe-t-il un pot de yaourt entier ?
  • pg69
    pg69
    @Ludwig, j'avais justement choisi ainsi le titre du topic pour attirer l'attention ! (:D
  • ev
    ev
    @ Ludwig.

    Pour un yaourt entier, il convient d'éviter le lait d'Echiré

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Dom
    Dom
    Il faut éviter $\ La-\pi-Hour \ $ aussi dans cet exercice !
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