Une autre équation entière

Bonjour,

Par ordinateur, pour tout $N$ allant de $2$ à $5000$, l'équation $(m^2+1)(n^2-1) \equiv \ell^2+3333 \pmod N$ a des solutions.
D'où vient cette équation ?

Bonjour,

On part de l’équation $(m^2+1)(n^2-1)=l^2+3333$ que l’on transforme en $(n+m)^2+(n m-1)^2=l^2+5\times 23\times29$ sans peine.

On travaille modulo $5$.

Un carré modulo $5$ vaut $0,1,4$.

Et on élimine tous les cas. Par exemple :
$(n+m)^2=1\mod 5$ et $(n m-1)^2=0\mod 5$ et donc $l^2=1\mod 5.$
On en déduit $nm-1=0\mod 5$ et $n+m=1\mod 5$ ou $n+m=9\mod 5.$
• On traite d’abord $n+m=1\mod 5$ :
On a donc $m=1-n\mod 5$ puis $n^2-n+1=0\mod 5.$ On multiplie par $4$ pour obtenir $(2n- 1)^2+3=0\mod 5$ ce qui est impossible.
• On traite finalement $n+m=1\mod 5$ :
On a donc, par le même calcul, $n^2+n+1=0\mod 5$, puis $(2n+1)^2+3=0\mod 5$ ce qui est impossible.

J’ai traité $6$ des $9$ cas dans la table croisée.

Je te laisse terminer.

@Chaurien moi je la retient en équation de Pell bien que ça peut être (Fermat) par mes modestes connaissance. En fait aussi c'est connu depuis des antiquités donc on peut la nommer de toutes façons. Et Fermat a plein de trucs sous son nom déjà. L'idée que comme vous savez que si une solution entière existe à $l^2-(m^2+1)n^2=d$ on peut donner une infinité de par exemple ici
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2050306,2051008#msg-2051008