Une autre équation entière
dans Arithmétique
Bonjour tout le monde,
On considère l'équation (E) : $(m^2+1)(n^2-1)=\ell^2+3333$ où $m$, $n$ et $\ell$ sont des entiers naturels.
Montrer que l'équation (E) n'a pas de solution.
J'ai commencé par poser $a=m^2+n^2$ et $b=m^2-n^2$, l'équation (E) est équivalente à $\frac{a^2-b^2}{4}-b=\ell^2+3334$, qui peut être vue comme équation quadratique en $b$ dont le discriminant $\Delta=16-4(4(\ell^2+3334)-a^2)$ doit être un entier carré. Et là je bloque
On considère l'équation (E) : $(m^2+1)(n^2-1)=\ell^2+3333$ où $m$, $n$ et $\ell$ sont des entiers naturels.
Montrer que l'équation (E) n'a pas de solution.
J'ai commencé par poser $a=m^2+n^2$ et $b=m^2-n^2$, l'équation (E) est équivalente à $\frac{a^2-b^2}{4}-b=\ell^2+3334$, qui peut être vue comme équation quadratique en $b$ dont le discriminant $\Delta=16-4(4(\ell^2+3334)-a^2)$ doit être un entier carré. Et là je bloque
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Réponses
Ceci est une autre approche qui n'aboutit qu'à une conclusion partielle.
On a $n^2(m^2+1)=m^2+\ell^2+6 \pmod{8}$. Or, on sait qu'un entier carré est $0,~1$ ou $4\pmod{8}$. Trois cas à discuter.
1- Si $n^2=1\pmod{8}$, alors on doit avoir $m^2+1=m^2+\ell^2+6\pmod{8}$, ou encore, $\ell^2=-5\pmod{8}$, ce qui est impossible.
2- Si $n^2=4\pmod{8}$, alors $3n^2=\ell^2+2 \pmod{8}$, ce qui est possible si et seulement si $m^2=\ell^2=1\pmod{8}$, alors $m$ et $\ell$ sont impaires.
3- Si $n^2=0\pmod{8}$, on obtient la même conclusion que.2-.
Par ordinateur, pour tout $N$ allant de $2$ à $5000$, l'équation $(m^2+1)(n^2-1) \equiv \ell^2+3333 \pmod N$ a des solutions.
D'où vient cette équation ?
On part de l’équation $(m^2+1)(n^2-1)=l^2+3333$ que l’on transforme en $(n+m)^2+(n m-1)^2=l^2+5\times 23\times29$ sans peine.
On travaille modulo $5$.
Un carré modulo $5$ vaut $0,1,4$.
Et on élimine tous les cas. Par exemple :
$(n+m)^2=1\mod 5$ et $(n m-1)^2=0\mod 5$ et donc $l^2=1\mod 5.$
On en déduit $nm-1=0\mod 5$ et $n+m=1\mod 5$ ou $n+m=9\mod 5.$
• On traite d’abord $n+m=1\mod 5$ :
On a donc $m=1-n\mod 5$ puis $n^2-n+1=0\mod 5.$ On multiplie par $4$ pour obtenir $(2n- 1)^2+3=0\mod 5$ ce qui est impossible.
• On traite finalement $n+m=1\mod 5$ :
On a donc, par le même calcul, $n^2+n+1=0\mod 5$, puis $(2n+1)^2+3=0\mod 5$ ce qui est impossible.
J’ai traité $6$ des $9$ cas dans la table croisée.
Je te laisse terminer.
Dans le développement de $(n+m)^2+(nm-1)^2$, le terme est $+m^2$ (signe plus).
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2050306,2051008#msg-2051008