Succession et parties stables de N
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai déjà une incompréhension dès la première page d'un bouquin "Arithmétique, cours & exercices", de Warusfel, Attali, Collet, Gautier, Nicolas qui est sensé être un cours niveau Terminale S...
Après quelques définitions sur la notion de successeur strict d'un entier naturel, d'une partie stable de $\mathbb{N}$ (c'est-à-dire une partie $A$ de $\mathbb{N}$ telle que $A' \subset A$ où $A'$ est l'ensemble des successeurs stricts de $A$), quelques propositions nous sont proposées, parmi lesquelles :
- proposition : toute partie stable distincte de $\mathbb{N}$ est incluse dans $\mathbb{N}^*$, où $\mathbb{N}^*$ est l'ensemble des successeurs stricts des entiers naturels ;
- corollaire : tout entier autre que 0 admet un prédécesseur strict.
"En effet, pour tout entier $n$ pour lequel l'équation $x+1 = n $ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}$, l'ensemble $A = \mathbb{N}\setminus\{n\}$ des entiers autres que $n$ contient $\mathbb{N}^*$, est stable et distinct de $\mathbb{N}$ : on dispose donc des deux relations $\mathbb{N}^* \subset A$ et $A\subset\mathbb{N}^*$, d'où $A = \mathbb{N}^*$. Il n'existe donc qu'un entier n'appartenant pas à $\mathbb{N}^*$. Comme on sait que 0 possède cette propriété, le résultat en découle."
Alors je ne comprends pas ce raisonnement puisque dans $A = \mathbb{N}\setminus \{ n \}$ on a peut-être d'autres entiers qui n'ont pas de prédécesseurs stricts ? On en a enlevé qu'un à ce que je sache... Il y a peut-être un autre entier $m$ appartenant à $A$ qui n'a pas de prédécesseur strict, auquel cas $A$ ne serait pas forcément stable.
Merci pour votre aide.
J'ai déjà une incompréhension dès la première page d'un bouquin "Arithmétique, cours & exercices", de Warusfel, Attali, Collet, Gautier, Nicolas qui est sensé être un cours niveau Terminale S...
Après quelques définitions sur la notion de successeur strict d'un entier naturel, d'une partie stable de $\mathbb{N}$ (c'est-à-dire une partie $A$ de $\mathbb{N}$ telle que $A' \subset A$ où $A'$ est l'ensemble des successeurs stricts de $A$), quelques propositions nous sont proposées, parmi lesquelles :
- proposition : toute partie stable distincte de $\mathbb{N}$ est incluse dans $\mathbb{N}^*$, où $\mathbb{N}^*$ est l'ensemble des successeurs stricts des entiers naturels ;
- corollaire : tout entier autre que 0 admet un prédécesseur strict.
"En effet, pour tout entier $n$ pour lequel l'équation $x+1 = n $ n'a pas de solution dans $\mathbb{N}$, l'ensemble $A = \mathbb{N}\setminus\{n\}$ des entiers autres que $n$ contient $\mathbb{N}^*$, est stable et distinct de $\mathbb{N}$ : on dispose donc des deux relations $\mathbb{N}^* \subset A$ et $A\subset\mathbb{N}^*$, d'où $A = \mathbb{N}^*$. Il n'existe donc qu'un entier n'appartenant pas à $\mathbb{N}^*$. Comme on sait que 0 possède cette propriété, le résultat en découle."
Alors je ne comprends pas ce raisonnement puisque dans $A = \mathbb{N}\setminus \{ n \}$ on a peut-être d'autres entiers qui n'ont pas de prédécesseurs stricts ? On en a enlevé qu'un à ce que je sache... Il y a peut-être un autre entier $m$ appartenant à $A$ qui n'a pas de prédécesseur strict, auquel cas $A$ ne serait pas forcément stable.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Il me semble qu'on peut simplement dire que $\mathbb N \setminus \{n\} \subset \mathbb N \setminus \{0\}$ et donc que $\{0\} \subset \{n\}$, c'est-à-dire que $0 \in \{n\}$ ou encore $ n=0$ ce qui conclut.
Ok je crois que j'y vois un peu plus clair