Fibonacci et nF(n)/F(n+1)

Stator · October 2020

Bonjour
Si $F(n)$ est le nième nombre de Fibonacci en faisant quelques essais j'ai remarqué que la fraction continue de $\frac{nF(n)}{F(n+1)}$ ne contient jamais $15$ éléments. Est-ce prouvable ?

LP · October 2020

Bonjour,
as-tu essayé avec $n=25$ ou $n=116$?
J'avais mal lu !

Fin de partie · October 2020

Que veut dire "ne contient jamais 15 éléments"?

Math Coss · October 2020

On compte la longueur de la décomposition en fraction continue de $nF(n)/F(n+1)$ pour les 10000 premières valeurs de $n$ et on cherche les entiers qui ne sont pas des longueurs.

sage: def f(n):
....:     return continued_fraction_list(n*F(n)/F(n+1))
....: 
sage: L = [len(f(k)) for k in range(10000)]
sage: L = list(set(L))
sage: [k for k in range(1,100) if not k in L]
[15, 35, 42, 47, 52, 67, 84]

Ainsi, $15$, $35$, $42$ ou $47$ n'apparaissent pas. Comme Stator, on pourra s'en étonner – ou pas.

Stator · October 2020

C'est ça Mathcoss. Merci pour la précision. Il faudrait montrer que $L(n)$, la longueur de la décomposition en fraction continue de $nF(n)/F(n+1)$, tend vers l'infini avec $n$ puis trouver un $n_0$ tel que $L(n)>15$ pour $n>n_0$ et ensuite vérifier que $L(n)$ ne vaut pas $15$ jusqu'à $n_0$. Mais bon plus facile à dire qu'à faire. Le fait que $L(n)$ tende vers l'infini semble déjà coton.

Fibonacci et nF(n)/F(n+1)

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