Un théorème trouvé chez Tao (niveau lycée)
dans Arithmétique
Bonjour,
je voudrais savoir si le théorème suivant a un nom.
$$\forall n\in\N,\ \forall k\in\N \text{ impair},\quad
1^k+2^k+\dots+n^k\equiv 0\mod[1+2+\dots+n].
$$ Il est cité par Terence Tao dans son livre sur la résolution de problèmes mathématiques et il le source dans le livre de Shklarsky et al. "problèmes mathématiques pour les olympiades soviétiques". Dans ce livre la preuve y est, d'ailleurs notablement plus simple que celle de Tao, mais ça n'est pas sourcé comme étant le "théorème de" et, pour des questions de simple convention, je voudrais lui donner un nom donc si quelqu'un le connaît ?
Merci d'avance et bon courage,
F.D.
je voudrais savoir si le théorème suivant a un nom.
$$\forall n\in\N,\ \forall k\in\N \text{ impair},\quad
1^k+2^k+\dots+n^k\equiv 0\mod[1+2+\dots+n].
$$ Il est cité par Terence Tao dans son livre sur la résolution de problèmes mathématiques et il le source dans le livre de Shklarsky et al. "problèmes mathématiques pour les olympiades soviétiques". Dans ce livre la preuve y est, d'ailleurs notablement plus simple que celle de Tao, mais ça n'est pas sourcé comme étant le "théorème de" et, pour des questions de simple convention, je voudrais lui donner un nom donc si quelqu'un le connaît ?
Merci d'avance et bon courage,
F.D.
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Réponses
F.D.
PS: Si quelqu'un souhaite fermer cette discussion c'est ok pour moi :-)
alors oui, il y a une démonstration élémentaire en trois points:
1. si a,b premiers entre eux, a|c et b|c alors ab|c
2. $a+b|a^k+b^k$ pour k impair
3. on traite le cas n pair, n=2p:
(a) $1^k+\dots+n^k\equiv 0[n+1]$:
$1^k+n^k$, $2^k+(n-1)^k$ etc. sont multiples de n+1 (point 2.) donc on a la formule (a)
(b) $1^k+\dots+n^k\equiv 0[p]$
$1^k+(n-1)^k$, $2^k+(n-3)^k$ etc. sont multiples de p (point 2.) donc on a la formule (b)
avec le point 1. et (a) et (b), on conclut.
Pour le cas impair, ça marche tout pareil.
Le plus difficile c'est la formule 2. au niveau lycée qui est une méchante récurrence...
Amicalement,
F.D.
PS: je ne fais jamais attention à mes majuscules, désolé A.D. ;-)
Oui je sais, c'est une escroquerie, mais ça évite les difficultés calculatoires.
F.D.
$2S_k(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n(i^k+(n+1-i)^k)\equiv \sum_{i=1}^n(i^k+(-i)^k)\equiv 0\pmod {n+1}$
$2S_k(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n(i^k+(n-i)^k)\equiv \sum_{i=0}^n(i^k+(-i)^k)\equiv 0\pmod {n}$
Comme $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux on en déduit que $n(n+1)$ divise $2S_k(n)$
Je conjecture que $S_1(n)$ divise $S_{2q}(n)$ si et seulement si, pour tout diviseur $d$ de $q$ tel que $2d+1$ est premier, $2d+1$ ne divise pas $n(n+1)$.
Par exemple, $S_1(n)$ divise $S_{36}(n)$ si et seulement si $n(n+1)$ n'est divisible par aucun des entiers $3,5,7,13,19,37$.
Je l'ai démontré pour les premières valeurs de $q$ et vérifié pour d'autres valeurs.
il ne me semble pas que le théorème soit vrai pour k pair: k=2, n=2 :-/
après trouver s'il y a des k pairs qui fonctionnent (pour tout n, pour certaines valeurs de n) me paraît en-dehors de mes compétences et de mes objectifs.
F.D.
ci-joint l'article de D.Knuth sur les sommes de ce type et les factorisations potentielles,
peu d'espoir pour k pair vu la forme des polynômes de Faulhaber :-)
Amicalement,
F.D.
Le cas général que je conjecture doit être difficile à justifier. Cela peut se réécrire : $S_1(n)$ divise $S_{2q}(n)$ si et seulement si les facteurs premiers impairs du dénominateur du nombre de Bernoulli $B_{2q}$ ne divisent pas $n(n+1)$.
J'avais énoncé le résultat sous la forme : $S_1(n)$ divise $S_k(n)$ si et seulement si pour tout $p$ premier impair qui divise $n(n+1)$, $p-1$ ne divise pas $k$.
C'est une conséquence immédiate de : $n$ divise $2S_k(n)$ si et seulement si pour tout $p$ premier impair qui divise $n$, $p-1$ ne divise pas $k$.
Pour cela j'ai montré pour $p$ premier impair : $S_k(p^a)\equiv -p^{a-1}\pmod {p^a}$ si $p-1$ divise $k$, $S_k(p^a)\equiv 0\pmod {p^a}$ sinon.
Ensuite j'ai distingué les cas $n$ impair, $n=2\times$impair et $n$ divisible par $4$.
j’espère que ça peut vous aider.
$~~~~~~$Terence Tao est né en 1975. Une célèbre photo le montre, âgé de dix ans, en conversation mathématique avec Paul Erdös, âgé de soixante-deux ans : émouvant dialogue. En 1986, 1987, 1988 il a été présenté à l'Olympiade internationale par son pays, l'Australie, et a remporté successivement une médaille de bronze, d'argent et d'or. Cette dernière est la seule à avoir été attribuée à un participant si jeune dans toute l'histoire de cette compétition (existant depuis 1959). Il a fait paraître ce livre : Solving mathematical problems: a personal perspective en 1992, à dix-sept ans. Deuxième édition en 2005, traduction française parue chez Cassini en 2020. Je passe sur la suite de la biographie de Terence Tao, très connue et tout aussi remarquable. Décidément, les génies, ça existe...
$~~~~~~$Le livre de Shklarsky, Chentzov, Yaglom, Problèmes mathématiques pour les olympiades soviétiques est paru en traduction anglaise sous le titre The USSR Olympiad Prolem Book en 1962 et réédité par Dover en 1993.
Cette réédition est disponible ici : https://www.isinj.com/mt-usamo/USSR Olympiad Problem Book (The) - Shklasrsky, Chentzov, and Yaglom (1993, Dover) (1-1).pdf ou ici : https://lhsmathleague.weebly.com/uploads/5/4/2/0/5420798/ussr_olympiad_problem_book__th.pdf
C'est sans doute légal puisque c'est donné directement sur Google.
Le message de FrançoisD semble suggérer qu'il existe une traduction française mais je n'en ai pas trouvé la trace.
$~~~~~~$J'ai ce livre depuis les années 1970, et j'y ai énormément appris à l'époque, lorsque les mathématiques de ce style n'étaient pas si répandues qu'aujourd'hui. La propriété qui fait l'objet du premier message de FrançoisD de ce fil est le n° 35, chapitre 3. Je l'avais posée dans une feuille d'exercices pour Math. Sup en 1991-92. J'ai donné cette feuille dans un message il y a un mois : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2114090,2116756#msg-2116756
$~~~~~~$J'ignorais que les polynômes $S_p(n)$ s'appellent polynômes de Faulhaber. J'avais posé l'étude de ces polynômes dans un problème pour prépa-HEC sous l'appellation de polynômes sommatoires.
Bonne journée.
Fr. Ch.