Fonctions modulaires

Bonjour, dans son livre : Modular functions and Dirichlet series, Tom Apostol prouve le résultat suivant :
toute fonction automorphe pour $\Gamma_0(p)$ et bornée sur $\mathbb{H}$ est constante. (théorème 4.4 page 79)

Je fournis le contexte.
1) il définit une fonction $f$ automorphe comme une forme modulaire de poids 0 pour $\Gamma$ le groupe modulaire, c'est-à-dire :
i) $f$ est méromorphe sur $\mathbb{H}$, le demi-plan de Poincaré ;
ii) $f(A\tau) = f(\tau)$ si $A$ est dans $\Gamma$ le groupe modulaire ;
iii) $f$ admet un développement de Fourier : $f(\tau) \; = \; \displaystyle \sum_{n=-m}^{\infty} a_n e^{2i\pi n\tau}$.

2) Même chose pour le sous-groupe $\Gamma_0(p)$ défini par :
$$ \Gamma_0(p) \; = \; \left\lbrace \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \in \Gamma \right\rbrace,
$$ avec $c \equiv 0 \; [p] $.
Il considère alors $f$ automorphe pour $\Gamma_0(p)$ et bornée sur $\mathbb{H}$ :
À partir de là, il décompose $\Gamma$ comme l'union des classes $\Gamma_k \; =\; \Gamma_0(p) S\times T^k,$
avec $S \tau = -1/\tau$ et $T\tau = \tau + 1$ générateurs de $\Gamma$ et $ 0 \leq k \leq p-1 $ auxquelles il ajoute la classe $ \Gamma_0(p)$. Il considère alors des fonctions $f_k(\tau) \; = \; f(V_k\tau) $ si $V_k \in \Gamma_k$.
Il prouve que $f_k(V\tau) \; = \; f_m(\tau)$ si $V \in \Gamma$ pour un certain $m$ et ajoute que l'application $k \to m$ définit une permutation de $\{0,\; 1,\; \dots \; , p\}$ et ce point me laisse profondément perplexe. Pourriez-vous m'éclairer.
Merci d'avance.