Syracuse pas shtam

depasse
depasse
dans Arithmétique
Bonsoir,

Quel que soit $n\in \mathbb N$, quel que soit $\epsilon \in \mathbb R_{>0}$, existe-t-il $(m,d)\in \mathbb N^2$ tel que $ \lvert{n-\frac{3^m}{2^d}}\rvert <\epsilon$? Je dirais que oui, mais sans preuve B-).

Quels sont les naturels qui ne sont pas la valeur absolue d'une différence entre une puissance de $2$ et une puissance de $3$?

Je me doute qu'il y a de la littérature sur ces questions naïves, mais je compte sur votre bon coeur pour me la pointer.

Amicalement, et merci

Paul

Réponses

  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.
    Déjà les pairs non !
  • depasse
    depasse
    Euh...
    $0=2^0-3^0$
    $2=3^1-2^0$
    $8=3^2-2^0$ ;-)
  • babsgueye
    babsgueye
    Euh, j'avais bouffé le $0$. Mais est notre $4$.
  • kolotoko
    kolotoko
    Bonjour,
    voir les entiers n tels que A128760(n) = 0. https://oeis.org/A128760
    Il vient : 4,6,9,10,12,14,16,18,20,21,22,24,27,28,30,32,33,34,35,36,...
    Bien cordialement.
    kolotoko
  • nodgim
    nodgim
    On veut une approximation n = 3^m / 2 ^d

    En version logarithme : ln n = m*ln3 - n*ln2

    On se donne des rationnels proches de ln n = r n , ln 2 = r2 et ln 3 = r3 ( par les fractions continues, c'est assez rapide, et on peut avoir la précision qu'on veut ).

    Et on résout alors r n = m * r3 - n * r2 ( on peut toujours trouver r2 et r3 premiers entre eux )
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour Depasse

    Je réponds à ta première question:$\:\:\:a= \dfrac{\log 3}{\log 2},\quad b =\dfrac{\log n}{\log 2}.\qquad a\notin \Q$ et la littérature classique contient un théorème qui dit que:
    $$\Big\{qa-p \mid (p,q) \in \N\times \Z\Big\}\;\text{ est dense dans}\: \R.$$
    $\forall \varepsilon >0, \:\:\:\exists (p,q)\in \N\times \N^* $ tel que $\Big|qa- p -b \Big|<\varepsilon,\:\:$ ce qui équivaut à $\: \Big|\log\dfrac {3^q}{2^p} - \log n\Big|<\varepsilon \log2.$
    La continuité de $\exp$ assure alors, pour tout $ \varepsilon>0,\:$ l'existence de $\:(p,q) \in \N\times\N^*$ tel que $\Big|\dfrac{3^q}{2^p} - n\Big| <\varepsilon.$
  • LP
    LP
    nodgim, je pense qu"il y a un hic dans ton argument car on pourrait l'appliquer à l'identique en remplaçant $\ln(3)$ par $\ln(4)$, or, dans ce cas, le résultat est faux.
    Cela dit, l'idée de la "version logarithmique" est une bonne idée. Comme $\alpha:=\frac{\ln(2)}{\ln(3)}$ est un irrationnel positif, on peut utiliser la densité de $\N-\alpha\N$ dans $\R$ pour conclure.
    LP
  • babsgueye
    babsgueye
    @depasse dans la liste de @kolotoko, il est facile de montrer qu'il y a tous les pairs qui ne s'écrivent pas sous la forme $3^n - 1$, les entiers de la forme $3^m$ avec $m\geq 2$ et d'autres intrus ; si ça peut te servir.
  • nodgim
    nodgim
    @LP : Juste, mais en décomposant n = n' * 3^k * 2^j , l'équation devient : r n' = (m-k) r3 - (n+j) r2
  • depasse
    depasse
    Merci à tous,

    ravi de vous lire après quinze jours d'absence (volontaire). Un livre de Rauzy (1976), qui est dans mon dos, résout dès son premier chapitre la question que j'ai posée. Un truc que j'ai eu su et ne savais plus.

    Amicalement
    Paul
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 25

RescassolThierry Pomabiguine_equationcaillouxtroisqua +20 Invités