Nombre de diviseurs d'un entier positif
dans Arithmétique
Je fais face à l'exercice suivant en théorie analytique des nombres. Dans cet exercice, $\tau(n)$ est le nombre de diviseur d'un entier positif $n$.
Soit $0<\epsilon<1$. Démontrer que
\[
\tau(n)\leq 2 \cdot (1/\epsilon)^{\pi(2^{1/\epsilon})} \cdot n^{\epsilon}.
\] En choisissant pour $\epsilon$ une certaine fonction décroissante en $n$, en déduire que
\[
\log \tau(n)=O(\log n/\log \log n)\quad \text{lorsque }n\to\infty.
\] J'ai réussi à faire la première partie. Pour la deuxième partie, j'ai
pris $\epsilon=\log 2/\log \log n$. En prenant $\log$ des deux côtés dans l'égalité au-dessus et en simplifiant, j'obtiens alors
\[
0\leq \log \tau(n)\leq \log 2-\pi(\log n) \cdot \log \epsilon +\frac{\log 2}{\log \log n}\log n,
\] donc
\[
0\leq \frac{\log \tau(n)}{\log n/\log\log n}\leq \log 2\cdot \frac{\log \log n}{\log n}\color{red}{-\pi(\log n)\cdot \log \epsilon\cdot \frac{\log \log n}{\log n} }+\log 2.
\] Il s'agit de borner cette quantité à droite lorsque $n\to\infty$. Le première terme tend vers 0 lorsque $n\to\infty$. Par contre, j'ai du mal avec le deuxième terme. En utilisant $\pi(x)\sim x/\log x$, j'obtiens une fonction qui tend vers $\infty$..
Alors soit j'ai mal choisi la fonction $\epsilon$, soit il manque quelque chose dans mon raisonnement. Je dois avouer que je n'ai pas beaucoup d'intuition pour la notation O et les inégalités. Toute aide est la bienvenue.
Soit $0<\epsilon<1$. Démontrer que
\[
\tau(n)\leq 2 \cdot (1/\epsilon)^{\pi(2^{1/\epsilon})} \cdot n^{\epsilon}.
\] En choisissant pour $\epsilon$ une certaine fonction décroissante en $n$, en déduire que
\[
\log \tau(n)=O(\log n/\log \log n)\quad \text{lorsque }n\to\infty.
\] J'ai réussi à faire la première partie. Pour la deuxième partie, j'ai
pris $\epsilon=\log 2/\log \log n$. En prenant $\log$ des deux côtés dans l'égalité au-dessus et en simplifiant, j'obtiens alors
\[
0\leq \log \tau(n)\leq \log 2-\pi(\log n) \cdot \log \epsilon +\frac{\log 2}{\log \log n}\log n,
\] donc
\[
0\leq \frac{\log \tau(n)}{\log n/\log\log n}\leq \log 2\cdot \frac{\log \log n}{\log n}\color{red}{-\pi(\log n)\cdot \log \epsilon\cdot \frac{\log \log n}{\log n} }+\log 2.
\] Il s'agit de borner cette quantité à droite lorsque $n\to\infty$. Le première terme tend vers 0 lorsque $n\to\infty$. Par contre, j'ai du mal avec le deuxième terme. En utilisant $\pi(x)\sim x/\log x$, j'obtiens une fonction qui tend vers $\infty$..
Alors soit j'ai mal choisi la fonction $\epsilon$, soit il manque quelque chose dans mon raisonnement. Je dois avouer que je n'ai pas beaucoup d'intuition pour la notation O et les inégalités. Toute aide est la bienvenue.
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Réponses
Si je peux me permettre de poser une deuxième question, pourriez-vous donner une indication sur comment prouver que
\[
\limsup_{n\to\infty} \frac{\log\tau(n)}{\log n/\log\log n}=\log 2 \quad ?
\]
Car si on choisit par exemple $c=\log 4$ comme j'ai fait dans ma démonstration, alors la formule dans la ligne en rouge a un terme $\log 4$ à droite et cetera.
\[
a_{n_k}=\frac{\log \tau(n_k)}{\log n_k/\log\log n_k}=\log 2\frac{\log(\pi(k))}{\theta(k)/\log \theta(k)}.
\] Déjà, je suis content car cela fait apparaître $\log 2$. Maintenant il s'agit de montrer que $\lim_{k\to\infty} \frac{\log(\pi(k))}{\theta(k)/\log \theta(k)}=1$.
Le théorème des nombres premiers dit que $\pi(k)=\frac{k}{\log k}(1+o(1))$ et $\theta(k)=k\big(1+o(1)\big)$, donc dans la limite
\[
\frac{\log(\pi(k))}{\theta(k)/\log \theta(k)} \sim \frac{\log(k/\log k)}{k/\log k},
\] ce qui semble converger vers 0...
Il y a quelque chose qui cloche ici.