Hocus Pocus

Salut, si le topic revient il se dévoile un peu seul. Juste à Sneg comme avis: je ne questionne la beauté mais quand tu mets les bornes sur $p$ et $q$ ça semble restrictif sur les choix $a,b,c$. Il doit y avoir quelque chose qui marche sans ces bornes.

Sneg a écrit:

Le but du jeu n'est pas de trouver $m,n \in \mathbb{Z}$ tels que ma+nb=c.

Oui. Tu dis ça, mais c'est ce que tu as demandé à Wolfram Alpha.
Je me mettais juste à la place de l'internaute moyen, qui voulait savoir comment Wolfram Alpha avait fait. Et comment on peut faire soi-même, à la main.

Je n'avais pas fait le tour de magie. Maintenant, je viens de le faire. Et je suis frustré. Cela ne marche pas du tout. Et je ne sais pas d'où vient la faute. Je donne mes valeurs.
a=79
b=96
c=83
83=96*56-79*67
n=-1$\in \mathbb{Z}$ (à propos, il y a 2 "n" dans ton sujet)
x=56=-96*(-1)-40
y=-67=79*(-1)+12
p=40 (0<p<96)
q=12 (0<q<79)
X=2
Y=1
k=3
m=-24
n=-43
ma+nb=-24*79+-43*96=-6024
kc=3*83=249
:-S
Qu'est-ce que j'ai fait de mal ?
:-(

Ahhhhhh. Mais je comprends tout. Il est important de dire, dans l'énoncé, que "n" ne doit pas être fixé, contrairement à p et q.

Merci pour l'explication.

J'ai fait un essai avec 71 x + 83 y = 97 z

Je cherche d'abord classiquement 71 x - 83 y = 1 puis, en multipliant par 97 j'obtiens : 71( -15 + 83 k ) + 83 ( 14 - 71 k ) = 97

On introduit le facteur j : 71 ( -15j + 83k) + 83 ( 14j - 71 k) = 97 j

Il faut -15 j + 83 k > 0 et 14 j - 71 k > 0

Une remise en forme : 83 / 15 > j / k >71 / 14 ou 5 + 8/15 > j / k > 5 + 1/14

Je cherche un j min : 5+1/2 convient ( 5 + 1/1 trop grand). D'où j = 11 et k = 2

71 * 1 + 83 * 12 = 11 * 97.

33587 * 25 + 30013 * 25 = 159 * 10000

Sauf erreur.

L'arithmétique existait avant les logiciels.

@ Sneg : Je confirme ce (a+1)/2, avec la même méthode employée pour calculer les cas proposés précédemment.

Bonjour Sneg. En ce début d'année 2021, je me suis dit que c'était l'occasion pour moi de faire un tour de magie. C'est vraiment un tour de magie car je ne sais pas comment cela marche pour la bonne raison que je viens juste de découvrir le truc. J'ai seulement compris comment faire le tour en louchant sur une toute petite partie d'un exposé de Rosales et de l'un de ses papiers in https://cmup.fc.up.pt/cmup/ASA/numsgps_meeting/slides/rosales-2.pdf http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=6CC24007F6B17875BA75F94436062565?doi=10.1.1.145.9528&rep=rep1&type=pdf

Mais il va falloir que tu t'accroches. Peut-être que mon machin est un peu trop compliqué et risque de faire flop.

$\bullet$ 1. D'abord, il faut que je te présente rapidement l'arbre de Stern-Brocot. C'est un arbre dans lequel poussent toutes les fractions positives. Un dessin extrait d'une note à la fin. On part de $0 = {a \over b} = {0 \over 1}$, $\infty = {c \over d} = {1 \over 0}$ et on fait une ``addition de cancre'' ${a \over b} \oplus {c \over d} = {a + c \over b + d} =_{\rm ici} {1 \over 1}$. Que l'on met au milieu (dans une ligne en dessous) et on recommence. C'est le premier dessin que tu vois.

Ensuite, tu fais un peu de ménage pour obtenir l'arbre en dessous avec des branches rouges et des feuilles qui sont des fractions. On ne met ni $0 = {0 \over 1}$ ni $\infty = {1 \over 0}$ dans l'arbre (mais on ne les oublie pas car c'est eux qui ont engendré le binz). On a donc un arbre binaire avec $1 = {1 \over 1}$ comme racine. Binaire car il y a 2 branches en dessous de chaque feuille, branches que l'on schématise par $G$ et $D$, $G$ pour gauche, $D$ pour droite.

Si tu prends un mot en les symboles $G, D$, par exemple le mot $m = DDGG$ et que tu suis les directions en partant de la racine 1, tu tombes sur une feuille qui est une fraction, ici dans l'exemple, $7/3$. Et ce qui est déjà magique, c'est que tu obtiens tous les rationnels (les fractions) positifs une et une seule fois. Je veux dire que partant d'une fraction, tu peux reconstituer le chemin qui part de la racine et qui conduit au rationnel en question.

Un peu magique, non ? Mais ce n'est pas de cette magie dont je veux te parler. Bien entendu, il y a belle lurette que j'ai programmé tout cela et je ressors la chose à l'occasion.

[color=#000000]> m := D * D * G * G ;
> WordToRational(m) ;
7/3
[/color]

Au cas où tu saurais ce qu'est une matrice $2 \times 2$, tu peux regarder les quelques lignes ci-dessous, sinon passe au point 2 (tu connais le conte de Raymond Queneau, Les 3 alertes petits pois ? http://ecole.donazaharre.free.fr/Document/Primaire/NosTextes/2009/HistoiresEmbranchements/Histoire_Queneau.pdf). Une manière d'obtenir la fraction consiste à remplacer dans le mot $m$ les symboles $G,D$ par les deux matrices ci-dessous et à faire le produit
$$
D \leftrightarrow \left[\matrix {1 & 0\cr 1 & 1\cr}\right] \qquad
G \leftrightarrow \left[\matrix {1 & 1\cr 0 & 1\cr}\right] \qquad
\text{produit dans le mot } m = \left[\matrix {\alpha & \beta\cr \gamma & \delta \cr}\right] \qquad \text{feuille } =
{\text{somme ligne basse} \over \text{somme ligne haute}} = {\gamma + \delta \over \alpha + \beta}
$$

[color=#000000]> mD ;
[1 0]
[1 1]
> mG ;
[1 1]
[0 1]
> mD * mD * mG * mG ;
[1 2]
[2 5]
[/color]

Ici la feuille fraction est ${2 + 5 \over 1 + 2} = {7 \over 3}$

$\bullet$ 2. J'en viens à tes affaires, si, si. Il se trouve que ce avec toi tu t'amuses i.e. faire rentrer un entier $c$ dans $a\N + b\N$ en le multipliant par le plus petit entier $k \ge 1$ possible, cela porte un nom.

Je te présente maintenant ce que Rosales (et les autres) nomme le semi-groupe quotient de $\langle a, b \rangle =_{\rm def} a\N + b\N$ par un entier $c \ge 1$. C'est par définition l'ensemble des entiers $k$ qui font rentrer $c$ dans $\langle a, b \rangle$. De manière formelle (à gauche, c'est la notation utilisée par Rosales)
$$
S := \langle a, b \rangle/c = \{ k \in \N \mid kc \in \langle a, b\rangle \}
$$Une fois que $a,b,c$ sont fixés, ce $S$ c'est un semi-groupe i.e. $S$ contient $0$ et si $k_1, k_2 \in S$ alors $k_1 + k_2 \in S$.

On va prendre $a,b \ge 2$ avec $a \wedge b = 1$ et $c \ge 1$. Et tu sais à quoi s'amusent les auteurs ? Ils déterminent un système de générateurs de $S$ grâce à l'arbre de Stern-Brocot. Dingue, non ?

$\bullet$ 3. Mais nous autres, enfin surtout toi, tu veux juste le plus petit élément $\ge 1$ de $S$ i.e. le plus petit $k \ge 1$ qui fait rentrer $c$ dans $a\N + b\N$. Je te raconte comment cela se passe sur un exemple.

D'abord, je fais tourner mes vieilles affaires des années passées

[color=#000000]> a := 11  ; b := 15 ; c := 13 ;
> k, alpha, beta := MultiplicateurMinimal(c, a,b) ;
> k ;
2
> alpha ;
1
> beta ;
1
> k*c eq alpha*a + beta*b ;
true
[/color]

Tu vois $a = 11$, $b = 15$, $c = 13$. Et on a trouvé $k = 2$ : $2 \times 13 = 1 \times 11 + 1 \times 15$.

$\bullet$ 4 Maintenant, c'est NOUVEAU et le tour de magie (de Rosales) commence vraiment ici. Tu cherches une relation de Bezout sur $a,b$ avec $u,v \ge 1$
$$
ub - va = 1 \qquad \text{donc} \qquad {b \over v} - {a \over u} = {1 \over uv}
$$

[color=#000000]> a := 11  ; b := 15 ;
> // 1 = u*b - v*a 
> u, v := Bezout(a,b) ;
> u, v ;
3 4
> u*b - v*a ;
1
[/color]

Ensuite débarque $c$ que l'on veut faire rentrer dans $a\N + b\N$. On regarde les deux fractions suivantes dans l'arbre de Stern-Brocot.
$$
{a \over cu} \quad<\quad {b \over cv}
$$

[color=#000000]> a / (c*u) ;
11/39
> P1 := RationalToWord(a/(c*u)) ;
> P1 ;
G^3 * D * G * D^4
> b / (c*v) ;
15/52
> P2 := RationalToWord(b/(c*v)) ;
> P2 ;
G^3 * D^2 * G^6
[/color]

Regarder signifie déterminer le chemin, suite de symboles $G,D$, qui vient de la racine. On les voit ci-dessus. Je les recopie :
$$
P_1 = GGGDGDDDD, \qquad \qquad P_2 = GGGDDGGGGGG
$$
Ces deux mots possèdent un plus grand préfixe commun (préfixe :: en partant de la gauche). Que je note $P$ ci-dessous :

[color=#000000]> P := Prefix(P1,P2) ;
> P ;
G^3 * D
[/color]

Et le miracle vient maintenant. Ce préfixe est un chemin donc détermine une fraction notée $r$, que je fais afficher sous la forme $r = <d,n>$ avec la signification $r = n/d$ ($n$ numérateur et $d$ pour dénominateur). Et la magie, c'est que le numérateur de la fraction correspondant au chemin préfixe $P$ de $P_1, P2_2$, c'est $k$. Le $k$ que tu cherches dans ce fil !!

[color=#000000]> r := WordToPoint(P)  ;
> r ;
<7, 2>
> r[2] eq k ;
true
[/color]

Bon, j'en conviens, c'est peut-être beaucoup pour un début d'année.

@ Claude Quitté: c'est bien entendu de cette façon que je trouve les solutions à ce problème. En revanche, j'utilise aussi les fractions continues, qui sont assez indissociables de l'arbre Stern-Brocot. Ce sont des outils bizarres mais très efficaces.

Hello,

Oubli et/ou maladresse de ma part dans mon premier post hier. J'ai pointé sur des transparents d'un exposé de Rosales (Porto 2008) sans me rendre compte qu'il y avait un exposé précédent. Normal, je découvrais le truc. Je répare en pointant sur l'exposé 1 in https://cmup.fc.up.pt/cmup/ASA/numsgps_meeting/slides/rosales-1.pdf.

Le problème comme souvent est de rentrer dans le binz. Ce n'était pas facile en commençant par l'exposé 2 !

Note : les auteurs ont trouvé un filon. Et quand on trouve un filon, c'est bien (sic) de l'exploiter https://cmup.fc.up.pt/cmup/ASA/numsgps_meeting/slides/robles-perez.pdf

En résumé : maintenant, on dispose de plusieurs mots-clés, ce qui facilite la recherche sur le web.

[color=#000000]SnegMethod := function(c, a,b)
  assert Gcd(a,b) eq 1   and  c in [1..a*b] ;
  q := (Modinv(b,a)*c) mod a ;
  p := ExactQuotient(b*q - c, a) ;
  assert c eq b*q - a*p  and p in [1..b-1]  and	q in [1..a-1] ;
  for x := 1 to Min(a,b) do
    y1 := ((a-q)*x - q) / a ;
    y2 := ((b-p)*x - p) / b ;
    assert y1 lt y2 ;
    if Ceiling(y1) le Floor(y2) then
      X := x ;
      Y := Ceiling(y1) ;
      assert Y	eq Floor(y2) ;  // je n'en sais rien
      return X, Y ;
    end if ;
  end for ;
  error "Impossibile : que passa ?" ;
end function ;
[/color]

Un exemple : mon ancienne mauvaise ``méthode'' (sic) incrémentale puis celle de Sneg (tout aussi incrémentale).

[color=#000000]
> repeat a := Random(10^7,10^8) ;  b := Random(10^7,10^8) ; until Gcd(a,b) eq 1 ;
> c := Random(10,10^2) ;
> a ;
34960174
> b ;
76465565
> c ;
80
> time k, u, v := MinimalMultiplier2019(c, a,b) ;
Time: 7.010
> k ;
4096650
> time X, Y := SnegMethod(c, a, b) ;
Time: 11.970
> k eq X+1 ;
true
[/color]

Bonjour Sneg (et Nogdim)

$\bullet$ 1. Voilà une réponse précise : $k-1$ itérations pour déterminer $k$. Depuis le début, je m'en étais rendu compte et comme je disposais d'une ``méthode'' (une très mauvaise méthode) de complexité analogue ($k$ itérations), je n'étais pas intervenu.

Ce qui est curieux dans tes posts, c'est l'alternance de faits précis rédigés avec le plus grand soin et de choses floues (voir plus loin).

La formule que tu donnes pour le nombre de Frobenius de $a\N + b\N + c\N$ (dans un contexte ad-hoc) est ce que l'on appelle la forme asymétrique. Aux notations près (et à une permutation près de ``ton dictionnaire'') c'est celle qui figure au début de la remark 13 après le corollary 12 du papier de 2004 (Rosales, Garcia-Sanchez, toujours les mêmes) in http://hera.ugr.es/doi/15773139.pdf

J'ai donc envie de dire ``bravo''. Et je le dis : BRAVO. En passant : tu m'attribues une preuve de je-ne-sais-trop-quoi mais je n'y suis pour rien. J'ai simplement appliqué les résultats de Rosales-Garcia (et je me souviens que cela n'a pas été simple de te faire passer l'information, j'ai dû m'y reprendre à plusieurs fois).

Il y a une formule symétrique pour le nombre de Frobenius sur laquelle cela serait une bonne chose de revenir, cf le point 4,

$\bullet$ 2 Chose floue : ce qui concerne l'informatique. Par exemple ``fraction de seconde'', cela n'a aucun sens. Ce qui compte, dans les temps de calcul que j'ai mentionnés, c'est la comparaison entre les diverses méthodes. Pas les temps de calcul en absolu. En ce qui concerne l'efficacité, tu as tendance à croire à la magie de la ``transcription informatique'' (je reprends tes termes). Non : ce qui compte, c'est la complexité.

Bien sûr qu'un tableur réalise des calculs. Des choses totalement obscures dans le point III de ton premier post : écriture décimale, valeur numérique, intervalle des réels. Je pense que tu ignores ce qui concerne le calcul en ``flottants''. Il est préférable d'éviter d'en parler (précision, je ne l'utilise pas de calcul flottant).

$\bullet$ 3. Domaine de validité en ce qui concerne la détermination du plus petit $k \ge 1$ tel que $kc \in \N a + \N b$. Chez moi (pour ma mauvaise méthose) : $a \wedge b = 1$ et $c \ge 1$, rien de plus. Ma méthode est bourrin(e) mais sans mystère. Elle est tellement bourrine et mauvaise que j'ai presque honte de parler de ``méthode''.

Chez toi, ce n'est pas clair. I.e. dans tes points I, II de ton premier post, il y a un sacré flou sur le choix de $a,b,c$. Il faut des contraintes pour disposer de $p,q$ dans les intervalles que tu cites et pouvoir avoir $c = -ap + bq$. Tu te doutes que si je dis cela, il a une raison.

Bref : selon toi, que doivent vérifier $a,b,c$ de manière précise pour pouvoir réaliser ton étape II ? Note : comme j'ai programmé toutes tes affaires, ``il a bien fallu que j'y passe''.

$\bullet$ 4. Formule symétrique pour le nombre de Frobenius de $n_1\N + n_2\N + n_3\N$ (je reprends les notations de Rosales-Garcia) : il s'agit de la proposition 15 dans le papier cité qui ne fait intervenir que $n_1, n_2, n_3, c_1, c_2, c_3$ : $c_1$ c'est le plus petit entier $\ge 1$ tel que $c_1n_1 \in n_2\N + n_3\N$. Idem pour $c_2, c_3$.

Elle nécessite un certain contexte rappelé à plusieurs reprises dans le papier. Mais, à ma grande surprise, j'ai pu vérifier, de manière expérimentale, qu'elle était valide pour TOUT semi-groupe $n_1\N + n_2\N + n_3\N$ 3-engendré (on peut par exemple avoir $n_3 = n_2$ !). Cela mériterait d'être approfondi.

Nogdim (et Sneg)

$\bullet$ 5. Je ne sais pas ce que tu veux dire ``je sais faire tout seul'' i.e. déterminer le plus petit $k \ge 1$ tel que $kc \in \N a + \N b$. Quel est le contexte ? Quelle est la complexité de ta méthode ?

Remarque : il n'y a pas (enfin, c'était le cas en 2008) de formule pour $k$ en fonction de $a,b,c$. C'est un problème ouvert, cf page 6 du deuxième exposé de Rosales aux journées de Porto in https://cmup.fc.up.pt/cmup/ASA/numsgps_meeting/slides/rosales-2.pdf. La seule manière de déterminer $k$ ``en général'' réside donc dans un algorithme. Mais un algorithme, cela deande autant de précision q'une preuve : il doit être prouvé, en principe, sa complexité doit être analysée ...etc...

Pourrais tu nous exposer cela avec la plus grande précision ? Je sais c'est du boulot et je comprendrais que tu dises ``non, trop de travail''. De mon côté, je peux montrer ma mauvaise méthode (dont j'ai presque honte) : je l'ai déjà fait avec vous il y a 2 ou 3 ans (toi + Sneg, elle n'avait pas ce pseudo à cette époque). Et à cette époque, tout le monde s'en fichait et il y avait trop de bruits sur le fil.

J'en redonne un petit coup. Rappel : il y a de la ``science mathématique'' chez Rosales-Garcia, c'est cela le plus important (Stern-Brocot et compagnie). Et en prime, un bonus : c'est efficace !! Bref, que du bonheur avec leurs trouvailles.

[color=#000000]> repeat a := Random(10^7,10^8) ;  b := Random(10^7,10^8) ; until Gcd(a,b) eq 1 ;
> c := Random(10,10^2) ;
> a ;
93976760
> b ;
40519791
> c ;
34
> time k1, u1, v1 := MinimalMultiplier2021(c, a,b) ; // la méthode efficace de l'équipe Portugaise.
Time: 0.000
> k1 ;
18587146
> time X, Y := SnegMethod(c, a, b) ;
Time: 52.540
> k1 eq X+1 ;
true
> time k, u, v := MinimalMultiplier2019(c, a,b) ; // ma très mauvaise méthode
Time: 31.600
> [k,u,v] eq [k1,u1,v1] ;
true
[/color]

Rappel : ce qui compte, ce n'est pas les temps de calcul en absolu mais les rapports, la comparaison entre eux.

$\bullet$ 6. Un pointeur sur le colloque ``Iberian Meeting on Numerical Semigroups-Porto 2008'' https://cmup.fc.up.pt/cmup/ASA/numsgps_meeting/schedule_slides.html. En passant : est ce que vous avez une idée du nombre de personnes dans l'équipe ? Saviez vous qu'ils travaillent dans ce domaine depuis plus de 20 ans ? Avec vous une idée de ce qu'ils ont réalisé dans le logiciel GAP ? ...etc...

Précision : ce n'est pas ma spécialité, je ne suis qu'un amateur dans ce domaine. Je veux juste comprendre le B.A.BA.

$\bullet$ 7. En 2021, nous sommes résignés à nous ``promener'' avec un masque que l'on doit avoir toujours sur soi. Mais pourquoi ne pas avoir toujours sur soi un arbre de Stern-Brocot ? C'est ce que je racontais à mes étudiant(e)s il y a bien longtemps. J'en attache un petit avec une migration douce.

Ce n'est pas encore trop tard : bonne année 2021 à vous deux et bonne suite.

$\def\Z{\mathbb Z}\def\Q{\mathbb Q}\def\R{\mathbb R}$Sneg (suite)

Je viens de lire une partie de ta réponse. J'en attache un extrait (premier attachement). Sincèrement, je pense que ce type de réponse de ta part est à éviter si tu souhaites échanger.

Ce morceau de réponse pourrait donner l'impression que tu expliques au blaireau que je suis ce qu'est un intervalle de $\R$. Or, il se trouve que je connais 2 ou 3 petites choses de base en mathématiques, en particulier ce qu'est un intervalle de $\R$.

Je ne suis pas persuadé que tu saches ce qu'est le calcul flottant en machine (ce que j'ai cité en te précisant que je n'utilisais pas). Peut-être que tu aurais pu te dire ``je ne sais pas ce que c'est et je m'abstiens'', non ?

Dans notre histoire, on ne sort pas du corps $\Q$ des rationnels. Quant à écriture décimale, qui n'a pas à intervenir ici, on peut en reparler quand tu veux.

Comme je m'intéresse au calcul, et pas seulement au calcul en algèbre, il m'arrive d'utiliser des ``réels en machine''. C'est important d'essayer d'en comprendre la sémantique. C'est peut-être ton cas : j'en attache une page (sur 40 pages) du manuel d'un système évolué. Une fois que tu auras lu ces 40 pages ainsi que le chapitre consacré à l'implémentation de $\Z$ puis celui consacré à l'implémentation de $\Q$, peut-être que l'on pourra commencer à en discuter. Après mais pas avant.

Ce que j'aime dans les échanges entre Sneg et claude quitté ce n'est pas tant le fond mais la forme.

Le lecteur peut être quasiment certains qu'au bout d'un moment ça va péter... et tout le plaisir est d'essayer de reconnaître la petite phrase qui va tout faire basculer (:D

Force est de constater que cette fois la tâche était ardue. En remontant les messages on arrive à pointer du doigts cette "malheureuse" phrase de claude quitté : "Ce qui est curieux dans tes posts, c'est l'alternance de faits précis rédigés avec le plus grand soin et de choses floues (voir plus loin)."

La flatterie qui suit n'aura quasiment aucun effet : "J'ai donc envie de dire ``bravo''. Et je le dis : BRAVO. ". (:D

Les questions rhétoriques de Sneg montrent que oui nous y sommes, c'est bien le point de non retour :

- ""L'écriture décimale" (d'un quotient) t'est inconnue ?",
- "L'intervalle des réels $[m,n]$" , c'est l'ensemble des nombres réels compris entre deux valeurs réelles $m$ et $n$ appartenant elles-mêmes à l'ensemble. J'ai du mal à croire que tu ne comprennes pas."

Juste pour rigoler encore un coup je ferais remarquer à Sneg que le claude quitté à qui elle s'adresse est probablement le même qui a coécrit : Modules sur les anneaux commutatifs, Algèbre commutative : Méthodes constructives. (:D

claude quitté un peu vexé (c'est compréhensible) renvoie Sneg à la lecture d'une quarantaine de pages sur l'implémentation des nombres. Cette dernière ayant l’impression que l’atmosphère s’est subitement rafraîchie préfère clore la discussion.

Et voilà que notre histoire se termine. Il faudra probablement attendre plusieurs semaines avant le prochain échange... soyons patient. B-)-

Coucou me revoilà.

$\bullet$ nogdim. Tiens je vais te raconter ce que j'ai fait concernant tes affaires, cela va me détendre. Je dis toute la vérité. J'ai commencé Dimanche soir et quand j'ai vu que tu commençais par ``$k$ peut être trouvé par une voie directe'' et que tu me refourguais le même post (sans changer $j$ et $k$), je me suis dit ``Toi mon gars, tu vas t'en prendre une''.

Puis j'ai vu l'ajout d'une précision, le mot ``fractions continues'', j'ai reconnu Stern-Brocot. Bref c'était bon. Vachement bon, même. C'est quelque chose que tu as dans tes notes personnelles, petit cachotier ?

Je m'y suis recollé Lundi matin en faisant des tests plus systématiques (pour étudier la complexité), j'ai relu Bullejos & Rosales in
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=0FAC86ABA46AD8E26970E1634B07B7F1?doi=10.1.1.145.9528&rep=rep1&type=pdf qui en parle (de la complexité). J'ai revisité mes affaires, mis des choses à jour. Bref les choses de la vie. Ce qui a donné cela (le Lundi matin).

[color=#000000]hilbert> ls -lt *
-rw------- 1 quitte maths 1373 Jan 11 10:38 CommonAncestor.magma
-rw------- 1 quitte maths 1320 Jan 11 10:24 nodgim.result
-rw------- 1 quitte maths 1053 Jan 11 10:23 nodgim.magma
-rw------- 1 quitte maths 2762 Jan 11 08:29 QuotientFromRosalesTools.magma
-rw-r--r-- 1 quitte maths 6249 Jan 11 08:26 3SemiGroupTools.magma
-rw------- 1 quitte maths 1393 Jan 11 06:38 QuotientFromRosales.magma
-rw------- 1 quitte maths 1274 Jan  8 13:37 SnegHocusPocus.magma
-rw------- 1 quitte maths  515 Jan  6 13:45 SnegHocusPocus.result
-rw-r--r-- 1 quitte maths 4174 Jan  4 15:00 SternBrocot.magma
[/color]

Et l'après-midi, j'ai composé mon post pour toi. Comme je tape comme un gendarme, cela m'a pris du temps.

Le tout dans le tout, au bout de 4-5 heures, en ce qui te concerne, c'était plié.
Quant à Sneg, depuis le début, l'étude m'a demandé une petite dizaine d'heures.

Je vais essayer d'envisager de renouer le dialogue avec elle en ce qui concerne les SPECIFICATIONS. J'attache pour la $n$-i!ème fois, le projet de la balançoire. Pour deux raisons : la première, c'est pour appuyer le fait que lorsque les choses sont mal spécifiées, cela peut partir en .ouille gros mot. Et la deuxième raison, c'est pour montrer l'incompréhension qui peut débarquer dans ce bas monde, y compris sur le forum.

A j'oubliais. Avant la tempête, puisque tout marchait comme sur des roulettes et que j'étais vraiment épaté (ce n'est pas de la flatterie contrairement à ce qu'a écrit Lourran), épaté d'une part par ton truc efficace (par rapport à mon machin pourri) et d'autre part par le fait que Sneg retrouvait exactement la formule du nombre de Frobenius de $a\N + b\N + c\N$ (dans le contexte que l'on sait), j'avais préparé un petit truc. Un petit truc pour fêter cela ensemble en début d'année 2021.

Ce petit truc, c'est le second attachement. Je sais c'est petit. Loin de faire péter le champagne ou un truc comme cela.

Mais ça, c'était avant la tempête pas prévue par la météo. Mais j'ai confiance, le gros est passé, je crois que cela va s'arranger.

$\bullet$ Lourran. Je suis également le co-auteur d'un livre qui a fait un bide ``Algorithmique algébrique''. Gros bide : c'est essentiellement un livre de maths mais l'éditeur (dont je tais le nom pudiquement) avait conseillé de le ranger chez les libraires, au rayon informatique, vers les logiciels. Entre Windows et Excel.