Suites d'entiers et valuations

Bonjour,

Je présente une idée et j'aurais aimé savoir si vous auriez des références ou des connaissances en rapport avec celle-ci.

Soit $U = \{ (a_n) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \mid (a_n)$ nulle à partir d'un certain rang $\}$.

La décomposition en facteurs premiers donne une bijection $\phi : U \to \mathbb{N}^*$ définie par $\phi((a_n)) = \prod\limits_{j \in \mathbb{N}} p_j^{a_j}$
où $(p_j)$ est la suite croissante des nombres premiers ($p_0 = 2, p_1 = 3,...$).

Donc se donner une partie de $\mathbb{N}^*$ revient à se donner un ensemble de suites d'éléments de $\mathbb{N}$ nulles à partir d'un certain rang.

Savez-vous si certains ensembles de suites donnent des propriétés intéressantes ?

Par exemple la bijection $\phi$ est un isomorphisme entres monoïdes commutatifs, donc on pourrait peut-être faire de la dynamique sur $U$ ou sur une partie de $U$ et en déduire des propriétés arithmétiques.
Ou un en considérant un élément de $U$ comme la suites des degrés ou des coefficients d'un polynôme, on pourrait avoir des liens avec les nombres ?
Ou simplement certaines parties de $U$ pourraient être associées à des ensembles de nombres intéressants ?

Par exemple l'ensemble des suites croissantes, ou arithmétiques, ou géométriques, ou autre, avec un "cut-off" à un certain rang.
C'est-à-dire $(0,0,0,0,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,7,0,0,0,...)$ serait une suite croissante avec une cut-off au rang 20 ($a_{19} = 7$ si on part de $a_0$)