Suites d'entiers et valuations
dans Arithmétique
Bonjour,
Je présente une idée et j'aurais aimé savoir si vous auriez des références ou des connaissances en rapport avec celle-ci.
Soit $U = \{ (a_n) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \mid (a_n)$ nulle à partir d'un certain rang $\}$.
La décomposition en facteurs premiers donne une bijection $\phi : U \to \mathbb{N}^*$ définie par $\phi((a_n)) = \prod\limits_{j \in \mathbb{N}} p_j^{a_j}$
où $(p_j)$ est la suite croissante des nombres premiers ($p_0 = 2, p_1 = 3,...$).
Donc se donner une partie de $\mathbb{N}^*$ revient à se donner un ensemble de suites d'éléments de $\mathbb{N}$ nulles à partir d'un certain rang.
Savez-vous si certains ensembles de suites donnent des propriétés intéressantes ?
Par exemple la bijection $\phi$ est un isomorphisme entres monoïdes commutatifs, donc on pourrait peut-être faire de la dynamique sur $U$ ou sur une partie de $U$ et en déduire des propriétés arithmétiques.
Ou un en considérant un élément de $U$ comme la suites des degrés ou des coefficients d'un polynôme, on pourrait avoir des liens avec les nombres ?
Ou simplement certaines parties de $U$ pourraient être associées à des ensembles de nombres intéressants ?
Par exemple l'ensemble des suites croissantes, ou arithmétiques, ou géométriques, ou autre, avec un "cut-off" à un certain rang.
C'est-à-dire $(0,0,0,0,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,7,0,0,0,...)$ serait une suite croissante avec une cut-off au rang 20 ($a_{19} = 7$ si on part de $a_0$)
Je présente une idée et j'aurais aimé savoir si vous auriez des références ou des connaissances en rapport avec celle-ci.
Soit $U = \{ (a_n) \in \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \mid (a_n)$ nulle à partir d'un certain rang $\}$.
La décomposition en facteurs premiers donne une bijection $\phi : U \to \mathbb{N}^*$ définie par $\phi((a_n)) = \prod\limits_{j \in \mathbb{N}} p_j^{a_j}$
où $(p_j)$ est la suite croissante des nombres premiers ($p_0 = 2, p_1 = 3,...$).
Donc se donner une partie de $\mathbb{N}^*$ revient à se donner un ensemble de suites d'éléments de $\mathbb{N}$ nulles à partir d'un certain rang.
Savez-vous si certains ensembles de suites donnent des propriétés intéressantes ?
Par exemple la bijection $\phi$ est un isomorphisme entres monoïdes commutatifs, donc on pourrait peut-être faire de la dynamique sur $U$ ou sur une partie de $U$ et en déduire des propriétés arithmétiques.
Ou un en considérant un élément de $U$ comme la suites des degrés ou des coefficients d'un polynôme, on pourrait avoir des liens avec les nombres ?
Ou simplement certaines parties de $U$ pourraient être associées à des ensembles de nombres intéressants ?
Par exemple l'ensemble des suites croissantes, ou arithmétiques, ou géométriques, ou autre, avec un "cut-off" à un certain rang.
C'est-à-dire $(0,0,0,0,1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,7,0,0,0,...)$ serait une suite croissante avec une cut-off au rang 20 ($a_{19} = 7$ si on part de $a_0$)
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Réponses
Ce que tu proposes me fait penser aux nombres supernaturels.
Merci pour le lien, c'est effectivement un exemple.
Cela dit, en me restreignant au lien wikipédia, j'ai du mal à voir s'ils ont une utilité autre que faciliter la généralisation de certaines notions (est-ce le cas ?).