Corollaire du petit théorème de Fermat

Bonjour

Soit $p$ un nombre premier. Pour tout entier relatif $n$ non multiple de $p$, $n^{p-1} \equiv 1 \,[p]$.

On montre qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $nk \equiv 1\,[p]$. Or, d'après le petit théorème de Fermat, $n^p \equiv n\, [p]$. Donc $n^p k \equiv 1\, [p]$. Je suis censé conclure "en utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication". J'ai pensé à quelque chose comme une "division de congruence" mais je ne pense pas que ça soit juste :
$$« \begin{cases} n^pk \equiv 1\,[p] \\ nk \equiv 1 \,[p] \end{cases} \implies n^{p-1} \equiv 1\,[p] »

$$ Merci d'avance pour votre aide.