Unicité de la décomposition facteurs premiers

Je pense que le préambule à la partie "unicité" a pour but de montrer que si on a deux décompositions différentes en facteurs premiers celles-ci diffèrent, non pas par les nombres premiers qui apparaissent dans les deux décompositions mais par au moins une différence de puissance sur les nombres premiers (ceux-ci sont communs aux deux décompositions).

Jp59:
C'est clair que si on a : $n=pq$ alors $p$ (respectivement $q$) divise $n$.

Pour la "réciproque". si $p,q$ sont des nombres premiers (distincts) alors tout nombre premier qui divise $n$ est soit $p$ soit $q$.

Cela résulte du lemme d'Euclide me semble-t-il:

Si un nombre premier $s$ divise $bc$ alors il divise $b$ ou $c$.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d'Euclide

Appliqué à $n=pq$ ($p,q$ premiers) alors un diviseur premier $s$ divise $p$ ou $q$ mais comme $p,q$ sont premiers $s=p$ ou $s=q$.

Je pense que la démonstration dans le message plus haut utilise une généralisation du lemme d'Euclide.


PS:
Le but affiché est que cela permet de montrer que si un nombre entier naturel non nul et plus grand que $1$ a deux décompositions en facteurs premiers égales, dans une des deux décomposition il n'y a pas un nombre premier qui apparait affecté d'une puissance non nulle et qui ne figure pas dans l'autre (je parle du nombre premier pas de la puissance).

Jp59:

C'est juste pour se simplifier le boulot je pense. Il n'y a plus qu'à montrer que les puissances dont sont affublés les nombres premiers figurant dans les deux décompositions (ces nombres premiers sont les mêmes) sont les mêmes aussi (pour le même nombre premier bien évidemment)