Rosales & Garcia-Sanchez

Hello Sneg

Je me permets de répondre car j'ai des doutes sur le fait que sur ce noble forum, les personnes connaissent la théorie des semi-groupes numériques et encore moins la théorie des semi-groupes minimalement 3-engendrés. Mais je peux me tromper.

Je devrais commencer par t'eng.e.ler car tu rapportes une infime partie de la vérité et avec l'information que tu fournis, il est impossible de répondre à ta question.

$\bullet$ La première vraie vérité est que $c_1$ est le plus petit entier $\ge 1$ qui FAIT RENTRER $n_1$ dans $\N n_2 + \N n_3$ i.e. $c_1n_1 \in \N n_2 + \N n_3$. Et pourquoi $c_1$ existe ? Car $n_2$ fait rentrer $n_1$ dans $\N n_2 + \N n_3$, n'est ce pas ? Idem, $n_3$ fait rentrer $n_1$ dans $\N n_2 + \N n_3$.

Ceci fait que $c_1$ est bien défini et est unique de chez unique. Il n'en est pas de même a priori des $r_{ij}$. Et on récupère aussi $c_1 \le n_2$, $c_1 \le n_3$ parce que $n_2, n_3$ font rentrer ...etc...

$\bullet$ Mais toi, exigeante comme tu es, tu veux les inégalités strictes $c_1 < n_2$ et $c_1 < n_3$. Et la deuxième vraie vérité consiste en un paquet de relations qui font intervenir les 3 $n_i$, les 3 $c_i$. Ainsi que les 6 $r_{ij}$ qui débarquent sans être a priori uniques. Le paquet de relations est le point fort de leur machin. A commencer par la stricte positivité des $r_{ij}$. Puis, par exemple, avec des notations que tu devineras pour $k,j$ en fonction de $i$, une relation facile à mémoriser (dans les bois)
$$
c_i = r_{ji} + r_{ki}
$$Et également 3 autres sur le modèle :
$$
n_2 = r_{13} r_{21} + r_{21} r_{23} + r_{23} r_{31} \qquad\qquad (\heartsuit)
$$ Je mets $r_{23}$ en facteur commun :
$$
n_2 = r_{23} (r_{21} + r_{31}) + r_{13} r_{21} = r_{23} c_1 + r_{13} r_{21} \qquad \qquad \text {j'encadre} \qquad\qquad
\fbox {$n_2 = r_{23} c_1 + r_{13} r_{21} $}
$$Le machin encadré chez nous autres, cela s'appelle un CERTIFICAT. De quoi ? Du fait que $\fbox {$c_1 < n_2$}$ vu que les $r_{ij}$ sont strictement positifs. Je viens d'encadrer une inégalité convoitée.

Un certificat, c'est une égalité qui certifie quelque chose sans que la personne n'ait le besoin de faire un raisonnement compliqué. Rassure toi : en général, je dis bien en général, les matheuses/matheux utilisent peu les certificats, ni la notion ni le bénéfice, et pensent que c'est mieux de raisonner (cela occupe). Mais parfois, si quand même : dans $\Z$, une relation du type $ua + vb = 1$ passe l'envie à $a,b$ d'avoir un facteur commun autre que $\pm 1$.

$\bullet$ Comment se souvenir de $(\heartsuit)$ en se promenant dans les bois ? D'abord, il faut bien regarder $(\heartsuit)$ et ses deux cousines DANS LES YEUX. Au fait que pouvait-on mettre en facteur commun dans le membre droit de $(\heartsuit)$ au lieu de $r_{23}$ ? Et cela aurait donner quoi ? Une fois $(\heartsuit)$ et les cousines bien analysées, il y a un trick de numérotation qui fait que ... on peut aller se promener dans les bois tranquillou. Et la recracher à un promeneur qui passe par là.

Voilà, voilà. Bonne suite.