Relation de dépendance entre 3 entiers

Stator
Stator
dans Arithmétique
Bonjour,

Étant donnés $3$ entiers strictement positifs $(a,b,c)$ je cherche une méthode pour trouver un triplet d'entiers relatifs premiers entre eux $(x,y,z),$ avec $x>0$ minimal et tels que $xa+yb+zc=0$ et à savoir si la minimalité exigée sur $x$ rend ce triplet unique. Sinon comment s'assurer de l'unicité. Merci pour vos idées.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Supposons connue une solution avec x>0 minimal : donc xa+yb est divisible par c; mais alors xa+(y+c)b aussi, et on obtient une nouvelle solution, pour le même x.

    Cordialement.
  • Stator
    Stator
    Merci Gérard. Ma question ainsi posée n'a effectivement pas d'intérêt. Je cherche à comprendre comment les algorithmes de recherche de relation de dépendance fonctionnent sur un triplet d'entiers. Quand on rentre lindep([13,8,5)) dans pari-gp il ressort [-1,1,1]. Comment fait-il pour sortir la relation la plus simple ?
  • nodgim
    nodgim
    Le terme " la relation la plus simple " n'est pas très parlant, en revanche on peut chercher { x ; y ; z } telle que la somme de leur valeur absolue est minimale, aucune des 3 valeurs ne devant être nulle.

    C'est faisable, et pas trop compliqué...

    Trouver par exemple 97x + 47y + 73z = 0
  • Stator
    Stator
    Pour ce cas $(97,47,73)$ on trouve sauf erreur une seule solution avec $x>0$ minimisant $\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|$ et telle que $97x + 47y + 73z=0$ à savoir $x=5$,$y=-1$ et $z=-6$.

    Et c'est bien ce que retourne la fonction lindep.

    gp > lindep([97,47,73])
    = [-5, 1, 6]

    Est ce comme ça qu'elle cherche?
  • Stator
    Stator
    Le genre de problème que je me pose alors. Soit $2<p<q<r$ trois nombres premiers consécutifs.Le triplet d'entiers $x,y,z$ vérifiant $x>0$ et $xp+yq+zr=0$ et minimisant $\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|$ vérifie-t-il nécessairement $x+y+z=0$? A mon avis cela nécessite de connaitre des choses sur les écarts entre nombres premiers en testant d'autres triplets de nombres impairs quelconques. Je l'ai vérifié avec la fonction lindep de pari-gp pour les 1000 premiers triplets de premiers consécutifs.
  • nodgim
    nodgim
    @ Stator : Je ne connais pas la fonction lindep, ce que j'ai fait, c'est à la main, et c'est bien la solution {-5,1,6} somme 12 la meilleure. Pour ton dernier message, c'est assez curieux comme résultat observé, je n'ai pas la moindre idée du pourquoi.
  • nodgim
    nodgim
    @ Stator : ce que tu as observé n'est pas une propriété spécifique aux nombres premiers consécutifs, c'est dû au faible écart entre les nombres choisis et à leur parité.

    Par exemple 17x + 19y + 23z = 0 peut s'écrire 17(x+y+z) + 2 (y + 3z ). Chercher le zéro pour chacune des 2 parties : 17(x+y+z) d'une part, 2(y+3z) d'autre part, semble être une bonne démarche, ça donne comme solution {-2 ; 3 ; -1 } qui est tout de même un bon candidat pour le minimum.

    Pour 17x + 19y + 21z = 0
    17(x+y+z) + 2(y+2z) = 0
    donne comme solution {1 ; -2 ; 1 } qui doit sans doute être le triplet minimal.
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