Exercice niveau terminale
dans Arithmétique
Bonjour, j'essaie de résoudre l'exercice suivant de niveau terminale. N'ayant pas la correction (ce qui d'ailleurs m'interroge sur l'utilité de chercher des exercices non corrigés), je me permets de vous demander un éclairage.
L' énoncé est
Montrez que pour tout nombre premier p différent de 2 ou 3, on a p² congru à 1 modulo 24.
Ma réponse figure en pièce-jointe.
Ce qui m'embête, c'est que je n'utilise pas le fait que p est premier, mais simplement non divisible par 2 et 3. J'ai fait quelques essais sur ces cas (25,35) et la relation semble fonctionner. Où est mon erreur ?
L' énoncé est
Montrez que pour tout nombre premier p différent de 2 ou 3, on a p² congru à 1 modulo 24.
Ma réponse figure en pièce-jointe.
Ce qui m'embête, c'est que je n'utilise pas le fait que p est premier, mais simplement non divisible par 2 et 3. J'ai fait quelques essais sur ces cas (25,35) et la relation semble fonctionner. Où est mon erreur ?
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Réponses
Sache que ce qui marche c'est de ne JAMAIS ou presque aller voir la correction. Elle ne sert à rien d'autre que soulager. Si tu n'as pas compris ça c'est que tu as un problème d'angle d'approche de la science.
ton raisonnement est correct et ton inquiétude n'a pas de raison d'être. Peux-tu montrer l'équivalence entre "pour tout nombre premier $p$ différent de $2$ et $3$, $p^2 \equiv 1~[24]$" et "pour tout entier $n$ non divisible par $2$ et $3$, $n^2 \equiv 1~[24]$" ?
LP
Écrire dans ton message initial : $p=3k+2$, alors $p^2-1=(3k+1)3k$ n’est pas exact. Une légère rectification s’impose.
Sans détailler les arguments:
On peut aussi remarquer qu'entre $p-1$, $p$ et $p+1$, l'un des trois est divisible par $3$.
Que $2|p-1$ et $2|p+1$. Puis que $2$ divise $(p-1)/2$ ou $(p+1)/2$.