Somme d'un carré et d'une puissance

Avec des questions pour guider l'élève, ça paraît accessible.
- Si $a$ est impair, $a^n$ est impair , trouver 2 entiers consécutifs i et j tels que $i^2+ a^n=j^2$
- Si a est pair, et n strictement supérieur à 1, montrer que $a^n$ est multiple de 4.
Soit $i = a^n/4-1$ et $j=a^n/4+1$
Montrer que $i^2+ a^n=j^2$

- Si $a$ est pair, et $n$ vaut 1, il reste 2 cas. Si $a$ est multiple de 4, la démonstration précédénte marche encore.
Et si $a$ est pair mais non multiple de 4, alors il est assez simple de démontrer qu'il n'y a pas de solution.

Avec toutes ses étapes précisées dans l'énoncé, j'imagine que c'est à la portée d'une classe de terminale.
Mais sans aucune aide, je n'ose imaginer.

Pour 4^6, on trouve ces solutions :
(48,80), (120,136), (252,260), (510,514) (1023,1025)... et on peut ajouter cette solution 'dégénérée' : (0,64)
On constate (et ce n'est toujours pas une coïncidence) que pour toutes ces solutions (i,j), le nombre (i+j)/2 est une puissance de 2.

Partant de $a^n$, on cherche $i$ et $j$ tels que $i^2+ a^n=j^2$.
Ceci peut aussi s'écrire : $a^n = j^2-i^2$.
Et $j^2-i^2$, ça se factorise assez facilement, c'est ce qu'on appelle une identité remarquable.

On a donc 2 nombres qui sont égaux, $a^n$ et ... ... . Les diviseurs de $a^n$, ils sont simples à trouver, surtout quand $a$ est premier.
Du coup, les couples $(i,j)$ sont aussi assez simples à trouver.