Démonstration niveau 4ème (souvenir 1985)
dans Arithmétique
Je ne me rappelle plus la démo de l'exercice suivant, niveau 4ème il y a longtemps.
Soient a, b, a' et b' des nombres entiers, avec b et b' non carrés parfaits, et vérifiant l'égalité suivante :
Il me semble me rappeler qu'il fallait utiliser la quantité conjuguée mais je ne me rappelle plus comment.
Merci pour vos lumières...
Pruvieros
Soient a, b, a' et b' des nombres entiers, avec b et b' non carrés parfaits, et vérifiant l'égalité suivante :
a+ racine(b)= a' + racine(b').
Montrer que a=a' et b=b'Il me semble me rappeler qu'il fallait utiliser la quantité conjuguée mais je ne me rappelle plus comment.
Merci pour vos lumières...
Pruvieros
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Réponses
$2+6\sqrt{5}=2+3\sqrt{20}$ ($5$ et $20$ ne sont pas des carrés parfaits).
Par ailleurs, je doute fortement qu'on donnait un tel exercice en 4ème dans un collège lambda.
PS:
Très probablement il faut remplacer la condition "non carré parfait" par "non divisible par un carré parfait autre que $1$".
-- Schnoebelen, Philippe
En gros, il fallait utiliser que si b<>b' alors on peut diviser par b-b' et alors on arrive à la conclusion que b ou b' est un carré parfait (ou bien même raisonnement avec a et a')
J'attends la suite avec impatience. B-)-
PS:
Les souvenirs reconstruits et la nostalgie (pour ne pas dire l'idéologie dans certains cas) reconstruisent le passé pour le mythifier.
Si tu arrives à trouver un $b$ tel que $\sqrt{b} = \dfrac{p}{q}$ avec $\dfrac{p}{q}$ irréductible et $q\neq 1$, tu as ton contre-exemple.
Et peux-tu nous donner un exemple d'entier dont la racine est un rationnel non entier, s'il te plaît ?
Je doute.