Démonstration niveau 4ème (souvenir 1985)

pruvieros
pruvieros
dans Arithmétique
Je ne me rappelle plus la démo de l'exercice suivant, niveau 4ème il y a longtemps.

Soient a, b, a' et b' des nombres entiers, avec b et b' non carrés parfaits, et vérifiant l'égalité suivante :
a+ racine(b)= a' + racine(b').
Montrer que a=a' et b=b'

Il me semble me rappeler qu'il fallait utiliser la quantité conjuguée mais je ne me rappelle plus comment.
Merci pour vos lumières...
Pruvieros

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Les conditions données sur $a,a',b,b'$ ne permettent pas d'obtenir la conclusion annoncée.

    $2+6\sqrt{5}=2+3\sqrt{20}$ ($5$ et $20$ ne sont pas des carrés parfaits).

    Par ailleurs, je doute fortement qu'on donnait un tel exercice en 4ème dans un collège lambda.

    PS:
    Très probablement il faut remplacer la condition "non carré parfait" par "non divisible par un carré parfait autre que $1$".
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Fin de partie, il n’a pas écrit $a+c \sqrt{b}$ mais $a+\sqrt{b}$.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • pruvieros
    pruvieros
    Si, c'était niveau 4ème, mais la consigne donnait également l'astuce de la quantité conjuguée.

    En gros, il fallait utiliser que si b<>b' alors on peut diviser par b-b' et alors on arrive à la conclusion que b ou b' est un carré parfait (ou bien même raisonnement avec a et a')
  • P.
    P.
    $$\sqrt{b'}-\sqrt{b}=a-a', \ \sqrt{b'}+\sqrt{b}=\frac{b'-b}{a-a'}\Rightarrow \sqrt{b'}=\frac{b'-b+(a'-a)^2}{2(a-a')}$$
  • pruvieros
    pruvieros
    Merci!!!!
  • Chaurien
    Chaurien
    Il faut espérer que les collèges ne sont pas tous lambda, il faut l'espérer, il y a aussi des Alpha.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Nicolas: j'avais mal lu, au temps pour moi.

    J'attends la suite avec impatience. B-)-

    PS:
    Les souvenirs reconstruits et la nostalgie (pour ne pas dire l'idéologie dans certains cas) reconstruisent le passé pour le mythifier.
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.
    Fdp a écrit:
    J'attends la suite avec impatience.

    Si tu arrives à trouver un $b$ tel que $\sqrt{b} = \dfrac{p}{q}$ avec $\dfrac{p}{q}$ irréductible et $q\neq 1$, tu as ton contre-exemple.
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour

    Et peux-tu nous donner un exemple d'entier dont la racine est un rationnel non entier, s'il te plaît ?

    Je doute.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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