Ordre multiplicatif modulo

VictorTrou · December 2020

Bonjour
Déterminer $\{n\in\mathbb{N}^{*},\ n \mid 2^n-1\}$.

Dans la dernière phrase de la démonstration je ne comprends pas comment on obtient $o=1$.
($p$ est le plus petit diviseur premier de $n$ et $o$ est un diviseur de $n$ strictement inférieur à $p$) $\implies o=1$.

Si on a montré que $o$ est premier. Est-ce le cas ?
Merci d'avance. 113932

Poirot · December 2020

$o$ divise $p-1$ donc $o < p$. Mais $o$ divise aussi $n$, et $p$ est le plus petit diviseur différent de $1$ de $n$, donc $o=1$.

VictorTrou · December 2020

Merci Poirot, je n'avais pas vu. Mais dans l'exemple suivant on est bien obligé de montrer que $o$ est premier non ? (pour en déduire que $o=1$ ou $o=2$).

Soit $n\in\mathbb{N}^{*} \setminus \{1\}$.
$$n\mid 2^n+1 \implies 3 \mid n.$$ 113944

Poirot · December 2020

Non. $o$ divise $2n$ et $n$ est impair donc d'après le lemme de Gauss, $o$ divise $2$ ou $o$ divise $1$. En répétant l'argument du message ci-dessus on obtient $o=1$ ou $o=2$.

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