Identité d'Euler

Salut.
La série de Riemann est la série de terme général : $$u_n = \dfrac{1}{n^{\alpha}}, \ \alpha\,\in\mathbb{R}.
$$ Elle converge si $\alpha \gt 1$, et diverge si $\alpha\leq 1$. On note $\zeta$ la somme, qu'on appelle fonction zéta de Riemann. On peut en fait définir cette fonction pour un complexe $s$ tel que $Re(s) \gt 1$. $$\zeta(s) = \sum_{1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{s}}.
$$ $\zeta$ est alors une fonction holomorphe dans le demi-plan $\{s\,\in\,\mathbb{C} \mid Re(s)\gt 1\}$.
On peut prouver que $\zeta$ se prolonge en une fonction holomorphe en $\mathbb{C}\setminus \{1\}$.
La fonction $\zeta$ est reliée aux nombres premiers par l'identité d'Euler, qui affirme que $$\zeta(s) = \prod_{p\, \text{premier}}\big(1 - \dfrac{1}{p^{s}}\big).

$$ Ma question c'est : qu'en est-il lorsque $s\rightarrow 1$. Je doute que cette égalité ne reste pas vraie, mais que peut-on dire de $\prod_{p\, \text{premier}}\big(1 - \frac{1}{p}\big)$ ?