Sommes sur les nombres premiers

Bon sans plus de précisions sur $f$ je ne sais vraiment pas ce que tu espères.

Si l'on ne dispose pas de renseignement aussi précis qu'une formule asymptotique sur $f$, mais que :

(i) $f \in C^1 \left[ 2 , + \infty \right[$ ;

(ii) L'intégrale $\displaystyle I_f := \int_2^\infty f^{\, \prime} (t) \left( \pi(t) - \textrm{Li}(t) \right) \, \textrm{d}t$ converge ;

alors, par sommation partielle
$$\sum_{p \leqslant x} f(p) = \int_2^x \frac{f(t)}{\log t} \, \textrm{d}t + C_f + f(x) \left( \pi(x) - \textrm{Li}(x) \right) + \int_x^\infty f^{\, \prime} (t) \left( \pi(t) - \textrm{Li}(t) \right) \, \textrm{d}t$$
où la constante $C_f$ est donnée par $C_f := f(2) \textrm{Li}(2) - I_f$.

Est-ce là le genre de "truc général" que tu cherches ?

Chercher à estimer $\sum_{k \leqslant n} f(p_n)$ ou bien $\sum_{p \leqslant x} f(p)$, c'est la même chose, on a simplement $x \asymp n \log n$ d'après les estimations connues sur $p_n$ (je rappelle que la notation de Titchmarsh $a \asymp b$ signifie $a,b > 0$ et il existe $0 <c_1 <c_2$ constantes telles que $c_1 b \leqslant a \leqslant c_2b$). D'un point de vue technique, on préfère étudier la seconde somme, car travailler avec $f(p)$ est plus simple qu'avec $f(p(n))$, où j'ai écrit ici le $n$ème nombre premier comme une fonction de $n$.

Maintenant, si $f$ est simplement supposée être décroissante et positive, alors il va être difficile d'obtenir mieux, en toute généralité, que la majoration triviale
$$\sum_{p \leqslant x} f(p) \leqslant f(2) \pi(x).$$
Cependant, dans la plupart des applications, la fonction $f$ possède des propriétés de régularité suffisamment fortes pour utiliser l'estimation donnée dans mon précédent message.

Si ça n'est pas le cas, on peut essayer la stratégie suivante :

(i) Commencer à se ramener à la somme $\sum_{n \leqslant x} \Lambda(n)f(n)$ via une sommation partielle qui donne
$$\sum_{p \leqslant x} f(p) = \frac{1}{\log x} \sum_{n \leqslant x} \Lambda(n)f(n) + \int_2^x \frac{1}{t \log^2t} \left( \sum_{n \leqslant t} \Lambda(n)f(n) \right) \, \textrm{d}t + O \left( \frac{\sqrt x}{\log x} \right)$$
où j'ai utilisé le fait que $f$ est décroissante et positive.

(ii) Traiter la somme $\sum_{n \leqslant t} \Lambda(n)f(n)$ à l'aide de l'identité de Vaughan, mais il faut être plutôt expérimenté, ce sont des mathématiques difficiles.