Arithmétique des polynômes
dans Arithmétique
Bonjour à tous.
Voici mon exercice.
Déterminer tous les polynômes P tels que P(2)=6, P'(2)=1, P"(2)=4, et pour tout n>=3, P(^n)(2)=0.
J'ai trouvé facilement un polynôme du second degré qui convient: 2x²-7x+12, mais je ne sais pas comment trouver tous les autres...
Merci pour votre aide.
Voici mon exercice.
Déterminer tous les polynômes P tels que P(2)=6, P'(2)=1, P"(2)=4, et pour tout n>=3, P(^n)(2)=0.
J'ai trouvé facilement un polynôme du second degré qui convient: 2x²-7x+12, mais je ne sais pas comment trouver tous les autres...
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Réponses
A partir de là; tu cherches un polynômes de degré $2$ et ce n'est plus difficile. Soit en montrant que $P \in \mathbb{R}_2[X] \mapsto (P(2),P'(2),P''(2)) \in \mathbb{R}^3$ est bijective ou de façon plus élémentaire, en cherchant $P = aX^2 + bX +c$, en imposant les trois conditions et en voyant que $a,b,c$ sont imposés.
Commence par faire le changement de variable $X=Y+2$.
Pour ramener toutes les conditions à des conditions en $Y=0$.
Merci beaucoup à vous deux.
Si $f$ est une fonction indéfiniment dérivable développable en série entière dans un voisinage de $0$ comment peut-on exprimer les coefficients de cette série entière?
f(y)=f(0)+f'(0)y+f"(0)/2!y²+...+f(^n)(0)/n!y^n+...
Est-ce que je me suis trompé?
Si $P$ est un polynôme de $K[X]$ de degré $n$ et si $a$ est un élément de $K$ (avec $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), on a:
$$ P(X+a) = \displaystyle \sum_{i=0}^n \; \dfrac{P^{(i)}(a)}{i!} X^{i}$$
de sorte que la donnée des $n+1$ premières dérivées successives en $a$ définit entièrement le polynôme.
Edit: formule corrigée.
La bonne formule est : \[P(X+a)=\sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{k!}X^k.
\] Ou encore [P(X)=\sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k.
\] Néanmoins, cela plie l'exercice, surtout si l'on remarque que l'on peut aussi l'écrire [P(X)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k\] pour ne pas avoir à se préoccuper du degré.