Propriété fondamentale de $\N$

Bonsoir.
Je suis en train de travailler mes cours de première année en essayant de refaire les preuves sans les regarder, ainsi j'ai besoin de votre aide pour savoir si mon raisonnement suivant est juste.

Théorème: Tout sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb{N}$ admet un plus grand élément.

Raisonnons par récurrence.
Soit $E$ un sous-ensemble non vide et majoré de $\mathbb{N}$
Soit $n \in \mathbb{N}$.
Considérons la proposition suivante.
P(n):"Si $n$ est un majorant de $E$, alors $E$ admet un plus grand élément".
Initialisation. $n=0$, supposons que 0 est un majorant de $E$, par hypothèse, $E$ est non vide donc nécessairement $E=\{0\}$, on en déduit que $E$ admet un plus grand élément.
Hérédité. Supposons que $P(n-1)$ est vraie pour un certain entier naturel $n \geq 1$.
Montrons que $P(n)$ est vraie.
Supposons que $n$ soit un majorant de $E$.
On distingue les cas suivants.
Si $n$ est un élément de $E$, nécessairement $n$ est le plus grand élément, d'où $E$ admet un plus grand élément.
Si $n$ n'est pas élément de $E$, considérons l'ensemble $A$ privé de $n$.
l'élément $n-1$ n'admet pas de successeur et tout nombre entier naturel strictement inférieurs à $n-1$ possède un unique successeur, alors pour tout $x \in E$, $x\leq n-1$. Alors d'après l'hypothèse de récurrence, $A$ admet un plus grand élément.
Dans tous les cas, $E$ admet un plus grand élément.
Conclusion. D'après le principe de récurrence sur $\mathbb{N}$, $P(n)$ est vrai pour tout $n$

Merci.