Pgcd et suite de Fibonacci
dans Arithmétique
Bonjour,
Je travaille sur un exercice de la suite de Fibonacci en arithmétique. (F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn, pour tout entier n).
On sait que Fm+n = FmFn-1 + FnFm+1 ; n|m => Fn|Fm ; pgcd(Fn,Fn+1) = pgcd(Fn+1;Fn+2) = 1 et pgcd(Fm,Fn) = pgcd(Fm,Fm+n).
La question est : en supposant a un entier quelconque et b un entier non-nul et (q,r) tel que a = bq + r; montrer que pgcd(Fa,Fb) = pgcd(Fb,Fr).
J'ai essayé de démontrer et j'en suis venu à démonter que pgcd(Fbq+r, Fb) = pgcd(Fb+r,Fb). Mais je n'ai pas réussi à montrer cette égalité ; j'ai essayé d'utiliser le corollaire du théorème de Bézout et la relation Fbq+r en fonction de Fbq et Fr en vain. J'ai aussi essayé par l'absurde mais ça ne montre que l’existence d'un couple (a,b) et pas pour tout (a,b).
Je me dis que ça doit avoir un rapport avec b|bq donc Fb|Fbq mais je n'arrive pas à faire le lien.
Est-ce que quelqu'un pourrait me venir en aide ?
patrick
Je travaille sur un exercice de la suite de Fibonacci en arithmétique. (F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn, pour tout entier n).
On sait que Fm+n = FmFn-1 + FnFm+1 ; n|m => Fn|Fm ; pgcd(Fn,Fn+1) = pgcd(Fn+1;Fn+2) = 1 et pgcd(Fm,Fn) = pgcd(Fm,Fm+n).
La question est : en supposant a un entier quelconque et b un entier non-nul et (q,r) tel que a = bq + r; montrer que pgcd(Fa,Fb) = pgcd(Fb,Fr).
J'ai essayé de démontrer et j'en suis venu à démonter que pgcd(Fbq+r, Fb) = pgcd(Fb+r,Fb). Mais je n'ai pas réussi à montrer cette égalité ; j'ai essayé d'utiliser le corollaire du théorème de Bézout et la relation Fbq+r en fonction de Fbq et Fr en vain. J'ai aussi essayé par l'absurde mais ça ne montre que l’existence d'un couple (a,b) et pas pour tout (a,b).
Je me dis que ça doit avoir un rapport avec b|bq donc Fb|Fbq mais je n'arrive pas à faire le lien.
Est-ce que quelqu'un pourrait me venir en aide ?
patrick
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